Bài tập giải phương trình bậc hai một ẩn siêu hay và chi tiết

202 lượt xem

Bài trước

Bài sau

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

A. Phương pháp giải

Giải phuơng trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$

Các phương pháp giải:

Phương pháp 1 : Phân tích đưa về phương trình tích

Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai

$x^{2} = a \to x = \pm \sqrt{a}$

Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm

Ta có: $Δ = b^{2} - 4 a c$

+ Nếu $Δ > 0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

+ Nếu $Δ = 0$ : Phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2 a}$

+ Nếu $Δ < 0$ : Phương trình vô nghiệm

Phương pháp 4 : Dùng công thức nghiệm thu gọn

Ta có $Δ' = b'^{2} - a c$ với $b = 2 b'$

+ Nếu $Δ' > 0$ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ'}}{a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ'}}{a}$

+ Nếu $Δ' = 0$ : Phương trình có nghiệm kép:

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a}$

+ Nếu $Δ' < 0$ : Phương trình vô nghiệm

Phương pháp 5 : Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et

Nếu x₁, x₂ là nghiệm của phương trình bậc hai $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì:

$\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} \\ x_{1} . x_{2} = \frac{c}{a} \end{cases}$

Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là $a . c < 0$ thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) $25 x^{2} - 16 = 0$

b) $2 x^{2} + 3 = 0$

c) $4, 2 x^{2} + 5, 46 x = 0$

d) $4 x^{2} - 2 \sqrt{3} x = 1 - \sqrt{3}$

Hướng dẫn giải

a) $25 x^{2} - 16 = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} = \frac{16}{25}$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{4}{5}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

$S = \{- \frac{4}{5}; \frac{4}{5}\}$

b) Ta có:

$Δ' = 0^{2} - 2.3 = - 6 < 0$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S = \emptyset$ .

c) $4, 2 x^{2} + 5, 46 x = 0$ $\Leftrightarrow x (4, 2 x + 5, 46) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ 4, 2 x + 5, 46 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{- 13}{10} \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

$S = \{- \frac{13}{10}; 0\}$

d) $4 x^{2} - 2 \sqrt{3} x = 1 - \sqrt{3}$ $\Leftrightarrow 4 x^{2} - 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} - 1 = 0$

$Δ' = {(\sqrt{3})}^{2} - 4 (\sqrt{3} - 1)$ $= 7 - 4 \sqrt{3}$ $= {(2 - \sqrt{3})}^{2} > 0$ .

Phương trình có hai nghiệm:

$x_{1} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}}}{4} = \frac{1}{2}$ và $x_{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}}}{4}$ $= \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

$S = \{\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3} - 1}{2}\}$

Ví dụ 2. Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (Xem toán 7, tập 2, trang 26).

a) $x^{2} = 12 x + 288$

b) $\frac{1}{12} x^{2} + \frac{7}{12} x = 19$

Hướng dẫn giải

a) $x^{2} = 12 x + 288 \Leftrightarrow x^{2} - 12 x - 288 = 0$

Ta có: $Δ' = {(- 6)}^{2} - 1 (- 288) = 324 > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm:

$Δ' = {(- 6)}^{2} - 1 (- 288) = 324 > 0$ và $x_{2} = 6 - \sqrt{324} = - 12$ .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: $S = \{- 12; 24\}$ .

b) $\frac{1}{12} x^{2} + \frac{7}{12} x = 19$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7 x - 12.19 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 7 x - 228 = 0$

Ta có: $Δ' = {(- 7)}^{2} - 4 (- 228) = 961 > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{961}}{2} = 12$ và $x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{961}}{2} = - 19$ .

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: $S = \{- 19; 12\}$ .

Ví dụ 3. Rađa của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của một ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức: $v = 3 t^{2} - 30 t + 135$ , (t tính bằng phút, v tính bằng km/h).

a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.

b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

a) Vận tốc của ôtô khi t = 5 phút:

$v = 3 {(5)}^{2} - 30 (5) + 135 = 60 k m / h$

b) Giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h là nghiệm dương của phương trình:

$120 = 3 t^{2} - 30 t + 135 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 30 t + 15 = 0$

$t_{1} = \frac{15 + \sqrt{15^{2} - 3 (15)}}{3}$ $\approx 9, 47' \approx 9' 28''$ ,

$t_{2} = \frac{15 - \sqrt{180}}{3}$ $\approx 0, 53' \approx 32''$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

1) $x^{2} - x - 6 = 0$ .

2) $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .

3) $x^{4} - 6 x^{2} + 8 = 0$ .

4) $x^{4} - x^{2} - 12 = 0$ .

5) $x - 2 \sqrt{x} - 3 = 0$ .

6) $x - 7 \sqrt{x} + 10 = 0$ .

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập giải phương trình bậc hai một ẩn siêu hay và chi tiết

Xem thêm các chương trình khác: