Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn nâng cao có đáp án

271 lượt xem

Bài trước

Bài sau

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa (h.2.1)

$s i n α = \frac{c ạ n h đ ố i}{c ạ n h h u y ề n};$

$c o s α = \frac{c ạ n h k ề}{c ạ n h h u y ề n};$

$t a n α = \frac{c ạ n h đ ố i}{c ạ n h k ề};$

$c o t α = \frac{c ạ n h k ề}{c ạ n h đ ố i} .$

Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác dương và $\sin α < 1; \cos α < 1 .$ .

2. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia

3. Một số hệ thức cơ bản

$\begin{array}{l} t a n α = \frac{s i n α}{c o s α} (1); \\ c o t α = \frac{c o s α}{s i n α} (2); \\ t a n α . c o t α = 1 (3); \\ s i n^{2} α + c o s^{2} α = 1 (4) . \end{array}$

4. So sánh các tỉ số lượng giác

Cho $α, β$ là hai góc nhọn. Nếu $α < β$ thì

$\begin{array}{l} s i n α < \sin β, t a n α < \tan β; \\ \cos α > \cos β; \cot α > \cot β . \end{array}$

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh các hệ thức:

a) $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α};$

b) $1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α} .$

Giải

a) Ta có

$1 + \tan^{2} α = 1 + {(\frac{\sin α}{\cos α})}^{2} = 1 + \frac{\sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{\cos^{2} α + \sin^{2} α}{\cos^{2} α} = \frac{1}{\cos^{2} α}$

b) Ta có

$1 + \cot^{2} α = 1 + {(\frac{\cos α}{\sin α})}^{2} = 1 + \frac{\cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{\sin^{2} α + \cos^{2} α}{\sin^{2} α} = \frac{1}{\sin^{2} α} .$

Ví dụ 2. Cho α là một góc nhọn. Chứng minh rằng:

a) $\sin α < \tan α;$

b) $\cos α < \cot α .$

Giải

a) Ta có

$\sin α = \frac{A C}{B C}, \tan α = \frac{A C}{A B}$ mà $B C > A B$ nên $\frac{A C}{B C} < \frac{A C}{A B} .$

Do đó $\sin α < \tan α;$

b) Ta có $\cos α = \frac{A B}{B C}, \cot α = \frac{A B}{A C}$

Mà $B C > A B$ nên $\frac{A B}{B C} < \frac{A B}{A C} .$

Do đó

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: $\cos α < \cot α .$

Giải

$Δ A B C$ vuông tại A nên $\hat{B} + \hat{C} = 90^{o} .$

Suy ra $\tan B = c o t C; \tan C = c o t B .$

Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.

Khi đó $A H \leq A M, A M = \frac{1}{2} B C$ hay $B C = 2 A M .$

Ta có $\cot C = \frac{C H}{A H}, \cot B = \frac{B H}{A H} .$

Do đó $\cot C + \cot B = \frac{C H}{A H} + \frac{B H}{A H} = \frac{B C}{A H}$ $= \frac{2 A M}{A H} \geq \frac{2 A H}{A H} = 2$

(Dấu “=” xảy ra khi $A M = A H \Leftrightarrow Δ A B C$ vuông cân tại A).

Suy ra $\tan B + \tan C \geq 2$ ( Dấu “=” xảy ra khi $Δ A B C$ vuông cân tại A).

Ví dụ 4. Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} .$

Giải

Vẽ đường cao CH.

Xét ∆ACH vuông tại H ta có: $\sin A = \frac{C H}{A C}$ (1)

Xét ∆BCH vuông tại H ta có: $\sin B = \frac{C H}{B C}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{C H}{A C} : \frac{C H}{B C} = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{b}$

Do đó $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$

Chứng minh tương tự ta được $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} .$

Vậy $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} .$

Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Biết diện tích tam giác ADE bằng $\frac{3}{4}$ diện tích tam giác ABC. Tính số đo góc A.

Giải

$Δ A B D ~ Δ A C E (g . g) .$

Suy ra $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A E} .$ Do đó $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} .$

$Δ A D E v à Δ A B C c ó : \hat{A} c h u n g : \frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

Vậy $Δ A D E ~ Δ A B C (c . g . c) .$

Suy ra $\frac{S_{A D E}}{S_{A B C}} = {(\frac{A D}{A B})}^{2} .$

Do đó $\frac{3}{4} = {(\cos A)}^{2} \Rightarrow c o s A = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^{o}$

Vậy $\hat{A} = 30^{o}$

Ví dụ 6. Tìm góc x, biết rằng:

a) $\tan x = 3 c o t x;$

b) $s i n x + \cos x = \sqrt{2} .$

Giải

a) $\tan x = 3 \cot x$ . Suy ra $\tan x = \frac{3}{\tan x}$ (vì $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ ).

Do đó $\tan^{2} x = 3 \Rightarrow \tan x = \sqrt{3} = \tan 60^{o} .$ Vậy $x = 60^{o} .$

b) $\sin x + \cos x = \sqrt{2}$ .

Bình phương hai vế ta được: $\sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = 2$

$\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x + 1 = 2$ (vì $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ )

$\Leftrightarrow 2 \sin x \cos x = 1 \Leftrightarrow 1 - 2 \sin x \cos x = 0$ $\Leftrightarrow \sin^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow {(\sin x - \cos x)}^{2} = 0$ . Do đó $\sin x = \cos x$

$\Leftrightarrow \sin x = \sin (90^{o} - x)$ (vì $\cos x = \sin (90^{o} - x)$ )

Dẫn tới $x = 90^{o} - x \Leftrightarrow 2 x = 90^{o} \Leftrightarrow x = 45^{o} .$

C. Bài tập vận dụng

2.1. Cho tam giác ABC vuông tại $A, A B = 3, A C = 4$ . Trên cạnh AC lấy điểm M. Tìm giá trị nhỏ nhất của sin AMB.

2.2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ $M N ⊥ B C$ .

Chứng minh rằng sin $C = \frac{A N}{C M} .$

2.3. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao BD và CE. Tính số đo của góc A để diện tích tam giác ADE bằng diện tích tứ giác BCDE.

2.4. Cho tam giác $A B C, \hat{A} = α (0^{o} < α < 90^{o})$ . Vẽ các đường cao BD và CE.

a) Chứng minh rằng $D E = B C \cos α$ ;

b) Gọi M là trung điểm của BC. Tính giá trị của α để tam giác MDE là tam giác đều.

2.5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF.

a) Chứng minh rằng $S_{A E F} + S_{B F D} + S_{C D F}$ $= c o s^{2} A + c o s^{2} B + c o s^{2} C;$

b) Tính diện tích tam giác DEF biết $\hat{A} = 60^{o}, \hat{B} = 45^{o}$ (lấy kết quả với ba chữ số thập phân).

2.6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho $B E = C F = \frac{1}{4}$ cạnh hình vuông. Tính $\cos E A F .$

2.7. Cho tam giác $A B C, A B = c, B C = a, C A = b$ . Các đường trung tuyến $A A'$ đường cao $B B'$ và đường phân giác $C C'$ đồng quy tại O. Chứng minh rằng

$\cos C = \frac{b}{a + b}$ .

2.8. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} . \sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8} .$

2.9. Cho tam giác ABC, đường cao AH (H nằm giữa B và C). Vẽ đường trung tuyến AM. Biết $A H = 6 c m, H B = 4 c m, H C = 9 c m$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc HAM.

2.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biết $A H = 4 c m, B C = 10 c m$ . Chứng minh rằng: $\tan B = 4 \tan C$ hoặc $\tan B = \frac{1}{4} \tan C .$

2.11. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H. Cho biết $H A : H D = k,$ chứng minh rằng: $\tan B . \tan C = k + 1 .$

2.12. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B} = 60^{o}$ . Trên cạnh BC lấy điểm M khác B và C sao cho $M B : M C = k$ . Vẽ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:

a) $A K = \sqrt{3} . B H;$

b) $A K : A H = 3 k$

2.13. Cho tam giác ABC có diện tích S, góc A tù. Đường cao AH = h. Chứng minh rằng:

a) Nếu $c o t B + \cot C = 4$ thì $S = 2 h^{2};$

b) Nếu $S = 2 h^{2}$ thì $\cot B + \cot C = 4$ .

2.14. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết $D B = 30 c m, D C = 40 c m$ và $\hat{H D A} = α$ . Chứng minh rằng: $α < 10^{o}$ .

2.15. Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí:

a) $P = s i n^{2} 1^{o} + s i n^{2} 2^{o} + s i n^{2} 3^{o} +$ $. . . + s i n^{2} 88^{o} + s i n^{2} 89^{o};$

b) $Q = t a n 15^{o} . t a n 25^{o} . t a n 35^{o} . t a n 45^{o}$ $. t a n 55^{o} t a n 65^{o} . t a n 75^{o}$ .

2.16. Biết $\cos α = \frac{20}{29}$ . Tính $\sin α, \tan α$ và $\cot α$ .

2.17. Cho $\cos x = 4 \sin x$ . Tính giá trị của tích $\sin x \cos x$ .

2.18. Cho $S = 8 \sin x + 15 \cos x$ . Tìm giá trị lớn nhất của S.

2.19. Cho $0^{o} < x < 90^{o}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) $A = \sin^{4} x + \cos^{4} x;$

b) $B = \sin^{6} x + \cos^{6} x .$

2.20. Biết $\sin α c o s α = \frac{2}{5},$ tính $\sin α, \cos α, \tan α$ và $\cot α .$

2.21. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc $α (0^{o} < α < 90^{o}) :$

a) $2 {(\sin α + \cos α)}^{2} - {(\sin α - \cos α)}^{2}$ $- 6 \sin α \cos α;$

b) $\frac{\tan^{2} α + \sin^{2} α}{\tan^{2} α} - \frac{\sin α \cos α}{\tan α};$

c) $\sin^{6} α + \cos^{6} α + 3 \sin^{2} α \cos^{2} α .$

2.22. Cho $\tan α = \frac{1}{4}$ , tính giá trị của biểu thức $M = \frac{\sin α - 2 \cos α}{2 \sin α + \cos α} .$

2.23. Cho $\tan α = \frac{5}{12}$ , tính giá tri của biểu thức $N = 6 \sin^{2} α + 7 \cos^{2} α$ .

2.24.Tam giác ABC có các góc B và góc C nhọn thoả mãn điều kiện $\frac{\sin^{2} B + \sin^{2} C}{\cos^{2} B + \cos^{2} C} = \frac{\tan^{2} B + \tan^{2} C}{2}$ . Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

2.25. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

a) $t a n 69^{o}, s i n 65^{o}, c o s 33^{o}, c o t 25^{o}$ ;

b) $c o s 65^{o}, c o t 63^{o}, s i n 20^{o}, t a n 28^{o}, c o s 66^{o} .$

2.26. Cho $α = 45^{o}$ Chứng minh rằng:

a) $\sin α < \cos α;$

b) $\tan α < \cot α .$

2.27. Cho tam giác ABC vuông tại A và các biểu thức:

$P = \frac{\sin B - 2 \sin C}{2 \cos B - \cos C}; Q = \frac{\tan B - 3 \tan C}{3 c o t B - c o t C} .$

Giả sử các biểu thức P và Q đều có nghĩa, chứng minh rằng $P . Q > 0$ .

2.28. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $M = (\frac{\cos 43^{o}}{\sin 47^{o}} + \frac{\cot 48^{o}}{\tan 42^{o}}) :$ $(\cos 25^{o} . \sin 65^{o} + \sin 25^{o} . \cos 65^{o});$

b) $N = \sin \frac{180^{o} - α}{2} . \cos \frac{α}{2} + \cos \frac{180^{o} - α}{2} . s i n \frac{α}{2}$ $- \tan \frac{180^{o} - α}{2} . \tan \frac{α}{2}$

(với $0^{o} < α < 180^{o}$ ).

2.29. Cho tam giác nhọn ABC $\sin A = \frac{\sin B + \sin C}{2}$ có. Chứng minh rằng: $B C = \frac{A B + A C}{2} .$

2.30. Cho tam giác nhọn ABC. Có thể xảy ra đẳng thức sin A = sin B + sin C không? Vì sao?

2.31. Cho tam giác nhọn $A B C, B C = a, C A = b, A B = c$ Chứng minh rằng:

$\sqrt{a \sin A} + \sqrt{b \sin B} + \sqrt{c \sin C}$ $= \sqrt{(a + b + c) (\sin A + \sin B + \sin C)} .$

2.32. Cho tam giác nhọn $A B C, B C = a, C A = b, A B = c$ . Chứng minh rằng $a \sin A, b \sin B, c \sin C$ là số đo ba cạnh của một tam giác.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn nâng cao có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: