Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

192 lượt xem

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

I. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

$s i n α = \frac{c ạ n h đ ố i}{c ạ n h h u y ề n} \cos α = \frac{c ạ n h k ề}{c ạ n h h u y ề n} \tan α = \frac{c ạ n h đ ố i}{c ạ n h k ề} c o t α = \frac{c ạ n h k ề}{c ạ n h đ ố i}$

Với $α$ là góc nhọn, ta có cả bốn tỉ số lượng giác dương và $\sin α < 1; \cos α < 1 .$

2. Định lí

Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia

3. Một số hệ thức cơ bản

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$

$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} \tan α . \cot α = 1 \sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

4. So sánh các tỉ số lượng giác

Cho $α, β$ là hai góc nhọn.

Nếu $α < β$ thì $\sin α < \sin β, \tan α < \tan β$

$\cos α > \cos β, \cot α > \cot β$

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB =0,6 m; AC =0,8m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.

Bài 2: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: sin 42⁰, cos 37⁰, sin 18⁰, cos 67⁰.

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:

$A = \tan^{2} 30^{0} . c {os}^{2} 30^{0} + 2 \sin 60^{0} +$ $\tan 45^{0} - \tan 60^{0} + c {os}^{2} 30^{0}$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{C} = 37^{0}$ . Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho BM = CM. Biết BM =20cm. Hãy tính BC, AB (làm tròn đến hàng phần trăm).

Bài 5: Dựng góc nhọn $α$ biết $\tan α = \frac{3}{2}$ .

Bài 6: Kiểm tra bảng, hãy so sánh:

a) $\sin 55^{0} v à \sin 70^{0}$

b) $\cos 75^{0} v à \cos 25^{0}$

c) $\tan 67^{0} v à \tan 23^{0}$

d) $\cot 71^{0} v à \cot 44^{0}$

Bài 7: Không dùng máy tính, hãy tính:

a) $\sin α, \tan α, \cot α$ nếu $\cos α = \frac{2}{3}$

b) $\cos x, \tan x, \cot x$ nếu $\sin x = \frac{1}{4}$

Bài 8: Hãy tính:

a) $\cos^{2} 37^{0} + \cos^{2} 17^{0} + \cos^{2} 53^{0} + \cos^{2} 73^{0}$

b) $\tan 37^{0} . \tan 17^{0} . \tan 53^{0} . \tan 73^{0}$

c) $\sin^{2} 15^{0} + \sin^{2} 35^{0} + \sin^{2} 55^{0} + \sin^{2} 75^{0}$

d) $\cot 10^{0} . \cot 20^{0} . \cot 70^{0} . \cot 80^{0}$

Bài 9: Cho $Δ A B C$ vuông tại A, $\hat{B} = 30^{0}$ , BC = 8cm. Hãy tính AB, AC.

Bài 10: Cho $Δ M N P$ vuông tại P, phân giác AD. Biết sin M = 0,8. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc M.

Bài 11: Không dùng MTBT hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần.

a. cotg 40^o, sin 50^o, tg 70^o, cos 55^o.

b. sin 49^o, cotg 15^o, tg 65^o, cos 50^o, cotg 41^o.

Bài 12:

a) Biết sin $α$ = $\frac{5}{13}$ , hãy tính cos $α$ , tg $α$ , cotg $α$ .

b) Biết tg $α$ = $\frac{12}{35}$ , hãy tính sin $α$ , cos $α$ , cotg $α$ .

c) Tìm x biết tg x + cotg x = 2.

d) Biết cos $α$ = $\frac{3}{4}$ , hãy tính sin $α$ , tg $α$ , cotg $α$ .

e) Biết cotg $α$ = $\frac{8}{15}$ , hãy tính sin $α$ , cos $α$ , tg $α$ .

Bài 13: Không dùng MTBT hoặc bảng số, tính nhanh gí trị các biểu thức sau:

a) M = sin²42^o + sin²43^o + sin²44^o + sin²45^o + sin²46^o + sin²47^o+ sin²48^o.

b) N = cos²15^o- cos²25^o+ cos²35^o - cos²45^o + cos²55^o - cos²65^o + cos²75^o.

c) A = cos² 1^o + cos² 2^o + cos² 3^o + . . . . + cos² 87^o + cos² 88^o + cos² 89^o – $\frac{1}{2}$

Bài 14: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc nhọn .

a) (cos $α$ - sin $α$ )² + (cos $α$ + sin $α$ )².

b) $\frac{{(c os α - \sin α)}^{2} - {(c os α + \sin α)}^{2}}{c os α . \sin α}$

Bài 15: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.

Chứng minh rằng: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . a . c . \sin B$ $= \frac{1}{2} . A B . B C . \sin B$

Áp dụng để tính diện tích tam giác ABC biết AC = 10, BC = 15, $\hat{C} = 60 °$ .

Bài 16: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi a, b, c là lượt là độ dài các cạnh BC, CA, và AB.

a) Chứng minh rằng $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

b) Có thể xảy ra đẳng thức sinA = sinB – sinC không ?

Bài 17: Cho biểu thức: $A = \frac{1 - 2 \sin α c os α}{\sin^{2} α - c {os}^{2} α}$ với $α \neq$ 45^o.

a) Chứng minh rằng $A = \frac{\sin α - c os α}{\sin α + c os α}$

b) Tính giá trị của A biết $t g α = \frac{1}{3}$ .

Bài 18: Hãy đơn giản các biểu thức:

a) $1 - \sin^{2} α$

b) $(1 - \cos α) (1 + \cos α)$

c) $\sin α - \sin α . \cos^{2} α$

d) $\sin^{4} α + c {os}^{4} α + 2 \sin^{2} α . c {os}^{2} α$

e) $\tan^{2} α - \sin^{2} α . \tan^{2} α$

f) $\cos^{2} α + \tan^{2} α . \cos^{2} α$

Bài 19: Chứng minh các đẳng thức sau :

a) $1 + \tan^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$

b) $1 + \cot^{2} x = \frac{1}{\sin^{2} x}$

c) $\cos^{4} x - - \sin^{4} x = 2 \cos^{2} x - 1$

d) $\sin^{6} x + \cos^{6} x = 1 - 3 . \sin^{2} x . \cos^{2} x$

Bài 20: Chứng minh đẳng thức sau đúng với mọi $0^{o} < α < 90^{o} .$

$\frac{c o t g^{2} α - \cos^{2} α}{c o t g^{2} α} + \frac{\sin α . \cos α}{c o t g α} = 1$

Bài 21: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 90^{o}, B C = a$ không đổi, $\hat{C} = α (0^{o} < α < 90^{o}) .$ .

a. Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và $α$ .

b. Tìm góc $α$ để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy và vẽ hình minh họa.

Bài 22: Cho tam giác ABC, $\hat{A} = 90^{o}, A B < A C$ , trung tuyến AM, $\hat{A C B} = α, \hat{A M B} = β .$

Chứng minh rằng: ${(s i n α + c o s α)}^{2} = 1 + s i n β .$

Bài 23: Cho hình thang có độ dài hai đường chéo lần lượt là 9 cm và 12 cm.

a) Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 15 cm.

b) Tính diện tích hình thang khi tổng độ dài của hai đáy là 16 cm.

Bài 24: Chứng minh rằng sin $α$ < tg $α$ ; và cos $α$ < cotg $α$ .

Bài 25: Tìm x:

a) $3 c o s x + 2 s i n (90^{o} - x) = 4, 15$

b) $2 s i n^{2} x + c o s^{2} x = 1, 8281$

c) $c o s^{2} x - s i n^{2} x = 0, 5$

Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh rằng:

a) AH = a.sinB.cosB

b) BH = a.cos²B

c) CH = a.sin²B

Bài 27: Tam giác ABC có góc B= $30^{o}$ ; góc A= $45^{o}$ ; AB= a. Tính khoảng cách từ C đến cạnh AB .

Bài 28: Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của tam giác đó.

Bài 29: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, $\hat{C} = 50^{o}$ . Biết AB = 2; AD = 1,2. Tính diện tích hình thang.

Bài 30:

a. Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của góc BAC là AD. Biết AB = 6, AC = 9 và . Tính độ dài AD.

b. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16. Tính góc B và góc C.

c. Tam giác ABC cân tại A, , đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xem thêm các chương trình khác: