80 bài tập phương trình vô tỉ nâng cao (chọn từ đề thi học sinh giỏi)

512 lượt xem

Bài trước

Bài sau

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011)

a) Rút gọn biểu thức: $P = \frac{\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x + \sqrt{2 x - 1}} - \sqrt{x - \sqrt{2 x - 1}}}$ với x $\geq 2$

b) Cho biểu thức $S_{n} = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^{n} + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^{n}$ với n là số nguyên dương.

Chứng minh rằng $S_{2 n} = {S_{n}}^{2} - 2^{n + 1}$ . Áp dụng: không sử dụng máy tính, hãy tính S₄ và S₈.

Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

a) Rút gọn biểu thức:

$P = \sqrt{2 + \sqrt{3}} . \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} .$ $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} .$ $\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}$ .

b) Cho $x = \sqrt[3]{1 + \sqrt{65}} - \sqrt[3]{\sqrt{65} - 1}$ . Tính $Q = x^{3} + 12 x + 2009$ .

Bài 3: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2011 – 2012)

Rút gọn biểu thức:

Bài 4: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

Cho biểu thức

$P = \frac{1}{x - 5 \sqrt{x} + 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3}$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.

b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P .

c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên.

Bài 5: (HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)

a) Cho $A = \sqrt{2012} - \sqrt{2011},$ $B = \sqrt{2013} - \sqrt{2012}$ . So sánh A và B.

b) Tính giá trị biểu thức: $C = \sqrt[3]{15 \sqrt{3} + 26} - \sqrt[3]{15 \sqrt{3} - 26}$ .

c) Cho $2 x^{3} = 3 y^{3} = 4 z^{3}$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ . Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt[3]{2 x^{2} + 3 y^{2} + 4 z^{2}}}{\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{4}} = 1$ .

Bài 6: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)

Rút gọn biểu thức

$A = \frac{\sqrt{6 + \sqrt{12} - \sqrt{8} - \sqrt{24}}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}$

Bài 7: (HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2014 – 2015)

a) Cho $x > 0, y > \sqrt{x}$ . Chứng minh rằng:

Ảnh đính kèm

b) Rút gọn biểu thức:

$P = \frac{\sqrt{1 + \sqrt{1 - a^{2}}} (\sqrt{{(1 + a)}^{3}} - \sqrt{{(1 - a)}^{3}})}{2 + \sqrt{1 - a^{2}}}$

Bài 8: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

a) Rút gọn biểu thức:

$P = \frac{1}{3} (\sqrt[3]{2} + 1)$ $(\sqrt{12 \sqrt[3]{2} - 15} + 2 \sqrt{3 \sqrt[3]{4} - 3})$

b) Chứng tỏ $\sqrt[3]{\sqrt{10} + \sqrt{2}}$ $- \sqrt[3]{\sqrt{10} - \sqrt{2}}$ là nghiệm của phương trình $x^{3} + 6 x - \sqrt{8} = 0$ .

Bài 9: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)

Cho biểu thức:

$P = \frac{a \sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} - \frac{a \sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} +$ $(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}}) (\frac{3 \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} - \frac{2 + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1})$

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P > 6.

Bài 10: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2016 – 2017)

a) Cho $M = x y - x \sqrt{x} - y \sqrt{y} + \sqrt{x y} .$

a₁) Phân tích M thành nhân tử.

a₂) Tính giá trị của M với $x = 4 + 2 \sqrt{3}$ và $y = 4 - 2 \sqrt{3}$ .

b) Chứng minh rằng:

$\sqrt{2016} + \sqrt{2017} < \frac{2016}{\sqrt{2017}} + \frac{2017}{\sqrt{2016}}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Xem thêm các chương trình khác:

Bài trước

Bài sau

Các dạng bài tập Toán 9

80 bài tập phương trình vô tỉ nâng cao (chọn từ đề thi học sinh giỏi)

Xem thêm các chương trình khác: