Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn có đáp án

195 lượt xem

RÚT GỌN VÀ BÀI TOÁN PHỤ

Bài 1 (2016):

Cho $A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2 \sqrt{x} - 24}{x - 9}$ với $x \geq 0; x \neq 9$

1) Tính giá trị của A khi $x = 25$

2) CMR: $B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}$

3) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên.

Giải:

· Ta thấy $x = 25$ thoả mãn điều kiện . $x \geq 0; x \neq 9$

· Thay $x = 25$ vào A ta được:

$A = \frac{7}{\sqrt{25} + 8} = \frac{7}{5 + 8} = \frac{7}{13}$ .

· Vậy khi $x = 25$ thì $A = \frac{7}{13}$

$\begin{array}{l} 2) B = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3) + 2 \sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \end{array}$

$= \frac{x + 5 \sqrt{x} - 24}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}$

$= \frac{(\sqrt{x} + 8) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}$

Vậy $B = \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3}$ ; $x \geq 0; x \neq 9$

$\Rightarrow$ ĐPCM

3) ĐK: $x \geq 0; x \neq 9$ (*), ta có:

$P = A . B = \frac{7}{\sqrt{x} + 8} . \frac{\sqrt{x} + 8}{\sqrt{x} + 3} = \frac{7}{\sqrt{x} + 3} > 0, \forall x \geq 0, x \neq 9$

+) Vì $x \geq 0$ nên

$\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 \geq 3 \Rightarrow \frac{7}{\sqrt{x} + 3} \leq \frac{7}{3}$

+) Do đó: $0 < P \leq \frac{7}{3}, \forall x \geq 0, x \neq 9$ .

+) Vậy $P \notin Z \Leftrightarrow P \in \{1; 2\}$

TH1: $P = 1 \Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x} + 3} = 1$ $\Leftrightarrow 7 = \sqrt{x} + 3$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow x = 16$ (thoả mãn ĐK *)
TH2: $P = 2 \Leftrightarrow \frac{7}{\sqrt{x} + 3} = 2$ $\Leftrightarrow 7 = 2 \sqrt{x} + 6$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$ (thoả mãn ĐK *)

Vậy P nguyên $\Leftrightarrow x \in \{16; \frac{1}{4}\}$

Bài 2 (2015):

Cho $P = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x > 0, x \neq 4$ .

1) Tính giá trị của P khi $x = 9$

2) Rút gọn Q

3) Tìm x để $\frac{P}{Q}$ đạt GTNN

Giải:

· Ta thấy $x = 9$ thoả mãn điều kiện $x > 0, x \neq 4$ .

· Thay $x = 9$ vào P ta được: $P = \frac{9 + 3}{\sqrt{9} - 2}$ $= \frac{12}{3 - 2}$ $= 12$ .

· Vậy khi $x = 9$ thì $P = 12$

$\begin{array}{l} 2) Q = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 2) + 5 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \end{array}$

$= \frac{{(\sqrt{x})}^{2} - 3 \sqrt{x} + 2 + 5 \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{{(\sqrt{x})}^{2} + 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}$

$= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

Vậy $Q = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ ; $x > 0; x \neq 4$

$\Rightarrow$ ĐPCM

3) ĐK: $x > 0, x \neq 4$ (*)

$\frac{P}{Q} = \frac{x + 3}{\sqrt{x} - 2} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \frac{x + 3}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

+) Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương: $\sqrt{x} v à \frac{3}{\sqrt{x}}$ , ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{\sqrt{x} . \frac{3}{\sqrt{x}}} = 2 \sqrt{3} \\ \Rightarrow \frac{P}{Q} \geq 2 \sqrt{3}; \forall x > 0, x \neq 4 \end{array}$

+) $\frac{P}{Q} = 2 \sqrt{3} \Leftrightarrow$ dấu “=” trong BĐT Cô – si xảy ra

$\Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{3}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow {(\sqrt{x})}^{2} = 3 \Leftrightarrow x = 3$ (tmđk*)

Vậy $x = 3$ thì $\frac{P}{Q}$ đạt GTNN

Bài 3 (2015):

1) Tính giá trị của $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ khi $x = 9$ .

2) Cho $P = (\frac{x - 2}{x + 2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}) . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ với $x > 0, x \neq 1$

a) CMR: $P - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

b) Tìm x sao cho: $2 P = 2 \sqrt{x} + 5$

Giải:

1) +) A xđ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 0, x \neq 1$

+) Ta thấy khi $x = 9$ thoả mãn điều kiện: $x \geq 0, x \neq 1$

+) Thay $x = 9$ vào A, ta được:

$A = \frac{\sqrt{9} + 1}{\sqrt{9} - 1} = \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$

+) Vậy khi $x = 9$ thì $A = 2$

$\begin{array}{l} 2) P = \frac{x - 2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \end{array}$

$= \frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

$= \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

Vậy $P = = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}; x \geq 0, x \neq 1$ $\Rightarrow$ ĐPCM

3) ĐK: $x \geq 0, x \neq 1$ (*)

$\begin{array}{l} 2 P = 2 \sqrt{x} + 5 \Leftrightarrow 2 . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} + 5 \\ \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} + 2 = 2 {\sqrt{x}}^{2} + 5 \sqrt{x} \Leftrightarrow 2 {\sqrt{x}}^{2} + 3 \sqrt{x} - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 (\sqrt{x} - \frac{1}{2}) (\sqrt{x} + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} - \frac{1}{2} = 0 \\ \sqrt{x} + 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x} = \frac{1}{2} \\ \sqrt{x} = - 2 (V N) \end{array} \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} (t m k *) \end{array}$

Vậy $x = \frac{1}{4}$ thì $2 P = 2 \sqrt{x} + 5$

Bài 4 (2013):

Với $x > 0$ , cho $A = \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}};$ $B = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}}$

1) Tính giá trị của A khi $x = 64$ .

2) Rút gọn B

3) Tìm x, để $\frac{A}{B} > \frac{3}{2}$

Giải:

1) +) $x = 64$ thoả mãn điều kiện: $x > 0$

+) Thay $x = 64$ vào A, ta được:

$A = \frac{2 + \sqrt{64}}{\sqrt{64}} = \frac{2 + 8}{8} = \frac{5}{4}$

+) Vậy khi $x = 64$ thì $A = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{l} 2) B = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x + 1}) + 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{{\sqrt{x}}^{2} - 1 + 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} = \frac{{\sqrt{x}}^{2} + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \end{array}$

Vậy: $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}; x > 0$

3) ĐK: $x > 0$ (*)

$\begin{array}{l} \frac{A}{B} > \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} . \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} > \frac{3}{2} \\ \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} > \frac{3}{2} \end{array}$

(Nhân cả hai vế với $2 \sqrt{x} > 0$ )

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 (\sqrt{x} + 1) > 3 \sqrt{x} \\ \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \\ \Leftrightarrow x < 4 \end{array}$

Kết hợp với (*) ta được: $0 < x < 4$ thì $\frac{A}{B} > \frac{3}{2}$

Tài liệu đầy đủ quý Thầy/Cô và bạn đọc vui lòng chọn mục tải xuống để xem chi tiết.

Các dạng bài tập Toán 9

Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn có đáp án

Xem thêm các chương trình khác: