Hàm số logarit

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$$ \Rightarrow g\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.f'\left( x \right)} \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.\dfrac{1}{x}} \right) = {\log _3}x$

Suy ra $g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln 3}}.$

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$$ \Rightarrow g\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.f'\left( x \right)} \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.\dfrac{1}{x}} \right) = {\log _3}x$

Suy ra $g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln 3}}.$

Ta có $y' = \left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]'{.2^{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln 2 = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}{.2^{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln 2.$

Ta có:

\(y' = 2\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]'.\ln \left( {\ln x} \right)\)

Mà ${\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]^/} = \dfrac{{{{\left( {\ln x} \right)}^/}}}{{\ln x}} = \dfrac{{\dfrac{1}{x}}}{{\ln x}} = \dfrac{1}{{x\ln x}}.$

Suy ra ${y^/} = 2.\dfrac{1}{{x\ln x}}.\ln \left( {\ln x} \right) = \dfrac{{2\ln \left( {\ln x} \right)}}{{x\ln x}}$ $ \Rightarrow {y^/}\left( e \right) = \dfrac{{2\ln \left( {\ln e} \right)}}{{e.\ln e}} = \dfrac{{2.\ln 1}}{{e.\ln e}} = 0$

Kẻ đường thẳng \(y = m > 0\) như hình vẽ ta có:

\({\log _a}{x_1} = m \Leftrightarrow {x_1} = {a^m},{\log _b}{x_2} = m \Leftrightarrow {x_2} = {b^m},{\log _c}{x_3} = m \Leftrightarrow {x_3} = {c^m}\)

Quan sát hình vẽ ta thấy \({x_2} < {x_3} < {x_1} \Leftrightarrow {b^m} < {c^m} < {a^m}\).

Mà \(m > 0\) nên \(b < c < a\) hay \(a > c > b\).

Ta có $f'\left( x \right) = 4.\dfrac{{\left( {\sqrt {x - 4}  + \sqrt x } \right)'}}{{\sqrt {x - 4}  + \sqrt x }} + \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }}$.

Khi đó $f'\left( 8 \right) = \sqrt 2 $ và $f\left( 4 \right) = 4\ln 2$.

Vậy $P = f\left( 4 \right) - {\left[ {f'\left( 8 \right)} \right]^2}.\ln 2 = 4\ln 2 - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.\ln 2 = 2.\ln 2$.

Ta có \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), mà \({a^{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}\).

Suy ra hàm đặc trưng \(y = {a^x}\) nghịch biến nên \(0 < a < 1\).

Tượng tự có \(\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}\) và \({\log _b}\dfrac{3}{4} < {\log _b}\dfrac{4}{5}\).

Suy ra hàm đặc trưng \(y = {\log _b}x\) đồng biến nên \(b > 1\).

Vậy \(0 < a < 1\) và \(b > 1\).

Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng \(x =  - 1\). Loại đáp án A, C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {2;1} \right)\) nên chỉ có D thỏa mãn

Đồ thị Hình 2 được suy ra từ đồ thị Hình 1 bằng cách:

+ Giữ nguyên phần \(y \ge 0.\)

+ Lấy đối xứng qua \(Ox\) phần \(y < 0.\)

Đồ thị hàm số \(y = {5^x}\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\log _5}x\) qua đường thẳng \(y = x\).

Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: $y =  - {\log _2}x = {\log _{{2^{ - 1}}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}x$.

Suy ra hàm số cần tìm là \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = {2^{ - x}}.\)

Dựa vào lý thuyết \(''\)Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số \(y =  - f\left( x \right)\)\(''\).

Do đó đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số $y =  - {\log _2}x = {\log _{{2^{ - 1}}}}x = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x$

Ta thấy hàm \(y = {\log _a}x\) có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi xuống nên là hàm nghịch biến hay \(0 < a < 1.\)

Còn hàm số \(y = {\log _b}x\) và \(y = {\log _c}x\) là những hàm đồng biến \( \Rightarrow b,{\rm{ }}c > 1.\)

Từ đó loại được các đáp án C, D.

Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị ${x_0} > 1$ thì đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {\log _c}x\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _b}x > {\log _c}x\end{array} \right. \Rightarrow b < c\).

Vậy $a < b < c.$

Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: $y = {3^{\frac{x}{2}}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$.

Dựa vào lý thuyết \(''\)Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {\log _a}x$ có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất $y = x''$.

Khi đó đồ thị hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) đối xứng với đồ thị hàm số \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x = 2{\log _3}x\) qua đường thẳng \(y = x\)

Điều kiện xác định: $x>0$

Đạo hàm hàm số \(y = {\log _a}x\) là \(y' = \dfrac{1}{{x\ln a}}\)

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta được:

\(f'\left( x \right) = \left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)'}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln 2}} = \dfrac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln 2}}.\)

Bước 1: Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và logarit để so sánh a, b, c với 0 và 1.

Từ các đồ thị hàm số, ta thấy \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) là các hàm số đồng biến nên \(a > 1\) và \(b > 1\).

Mặt khác, \(y = {\log _c}x\) là hàm số nghịch biến nên \(0 < c < 1\).

Như thế c sẽ nhỏ hơn a và b.

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) . Kẻ đường thẳng \(y = 1\)  từ đó so sánh a với b.

Vẽ đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) qua đường thẳng \(y = x\).

Kẻ đường thẳng \(y = 1\) cắt hai đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\). Khi đó, \({x_A} = a\) và \({x_B} = b\).

Từ đồ thị hàm số ta thấy \({x_A} < {x_B}\). Vậy \(a < b\).

Vậy c<a<b

Hàm số \(y = {\log _a}x\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

+ TXĐ : \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên C sai

+ Đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(a > 1\) và nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nếu \(0 < a < 1\) nên A đúng

+ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là \(x = 0\) và không có tiệm cận ngang nên B đúng

+ Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung nên D đúng.

Ta có \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 3}}\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 3}}\).

ĐK: \(x \ne  - \dfrac{1}{5}\)

\(\begin{array}{l}y = {\log _2}\left| {5x + 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {5x + 1} \right)khix >  - \dfrac{1}{5}\\{\log _2}\left( { - 5x - 1} \right)khix <  - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}},\,khix >  - \dfrac{1}{5}\\\dfrac{{ - 5}}{{\left( { - 5x - 1} \right)\ln 2}},\,khi x <  - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\\ = \dfrac{5}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}}\, khi x \ne  - \dfrac{1}{5}\end{array}\)

\(y = {\log _3}x\) \( \Rightarrow y' = \dfrac{1}{{x\ln 3}}\).