Hàm số logarit

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$$\Rightarrow g\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.f'\left( x \right)} \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.\dfrac{1}{x}} \right) = {\log _3}x$

Suy ra $g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln 3}}.$

Ta có $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$$\Rightarrow g\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.f'\left( x \right)} \right) = {\log _3}\left( {{x^2}.\dfrac{1}{x}} \right) = {\log _3}x$

Suy ra $g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{x\ln 3}}.$

Ta có $y' = \left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]'{.2^{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln 2 = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}}{.2^{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}.\ln 2.$

Ta có:

$y' = 2\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]'.\ln \left( {\ln x} \right)$

Mà ${\left[ {\ln \left( {\ln x} \right)} \right]^/} = \dfrac{{{{\left( {\ln x} \right)}^/}}}{{\ln x}} = \dfrac{{\dfrac{1}{x}}}{{\ln x}} = \dfrac{1}{{x\ln x}}.$

Suy ra ${y^/} = 2.\dfrac{1}{{x\ln x}}.\ln \left( {\ln x} \right) = \dfrac{{2\ln \left( {\ln x} \right)}}{{x\ln x}}$ $\Rightarrow {y^/}\left( e \right) = \dfrac{{2\ln \left( {\ln e} \right)}}{{e.\ln e}} = \dfrac{{2.\ln 1}}{{e.\ln e}} = 0$

Kẻ đường thẳng $y = m > 0$ như hình vẽ ta có:

${\log _a}{x_1} = m \Leftrightarrow {x_1} = {a^m},{\log _b}{x_2} = m \Leftrightarrow {x_2} = {b^m},{\log _c}{x_3} = m \Leftrightarrow {x_3} = {c^m}$

Quan sát hình vẽ ta thấy ${x_2} < {x_3} < {x_1} \Leftrightarrow {b^m} < {c^m} < {a^m}$.

Mà $m > 0$ nên $b < c < a$ hay $a > c > b$.

Ta có $f'\left( x \right) = 4.\dfrac{{\left( {\sqrt {x - 4}  + \sqrt x } \right)'}}{{\sqrt {x - 4}  + \sqrt x }} + \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }}$.

Khi đó $f'\left( 8 \right) = \sqrt 2$ và $f\left( 4 \right) = 4\ln 2$.

Vậy $P = f\left( 4 \right) - {\left[ {f'\left( 8 \right)} \right]^2}.\ln 2 = 4\ln 2 - {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.\ln 2 = 2.\ln 2$.

Ta có $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$, mà ${a^{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}} > {a^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}$.

Suy ra hàm đặc trưng $y = {a^x}$ nghịch biến nên $0 < a < 1$.

Tượng tự có $\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}$ và ${\log _b}\dfrac{3}{4} < {\log _b}\dfrac{4}{5}$.

Suy ra hàm đặc trưng $y = {\log _b}x$ đồng biến nên $b > 1$.

Vậy $0 < a < 1$ và $b > 1$.

Dựa vào đồ thị thấy có tiệm cận đứng $x =  - 1$. Loại đáp án A, C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $\left( {2;1} \right)$ nên chỉ có D thỏa mãn

Đồ thị Hình 2 được suy ra từ đồ thị Hình 1 bằng cách:

+ Giữ nguyên phần $y \ge 0.$

+ Lấy đối xứng qua $Ox$ phần $y < 0.$

Đồ thị hàm số $y = {5^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\log _5}x$ qua đường thẳng $y = x$.

Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: $y =  - {\log _2}x = {\log _{{2^{ - 1}}}}x = {\log _{\frac{1}{2}}}x$.

Suy ra hàm số cần tìm là $y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} = {2^{ - x}}.$

Dựa vào lý thuyết $''$Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số $y =  - f\left( x \right)$$''$.

Do đó đồ thị hàm số $y = {\log _2}x$ đối xứng qua trục hoành ta được đồ thị hàm số $y =  - {\log _2}x = {\log _{{2^{ - 1}}}}x = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x$

Ta thấy hàm $y = {\log _a}x$ có đồ thị từ trái sang phải theo hướng đi xuống nên là hàm nghịch biến hay $0 < a < 1.$

Còn hàm số $y = {\log _b}x$ và $y = {\log _c}x$ là những hàm đồng biến $\Rightarrow b,{\rm{ }}c > 1.$

Từ đó loại được các đáp án C, D.

Từ đồ thị hàm số ta thấy tại cùng một giá trị ${x_0} > 1$ thì đồ thị hàm số $y = {\log _b}x$ nằm trên đồ thị hàm số $y = {\log _c}x$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{\log _b}x > {\log _c}x\end{array} \right. \Rightarrow b < c$.

Vậy $a < b < c.$

Trước tiên ta đưa hàm số về dạng chuẩn: $y = {3^{\frac{x}{2}}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$.

Dựa vào lý thuyết $''$Hai hàm số $y = {a^x}$ và $y = {\log _a}x$ có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất $y = x''$.

Khi đó đồ thị hàm số $y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}$ đối xứng với đồ thị hàm số $y = {\log _{\sqrt 3 }}x = 2{\log _3}x$ qua đường thẳng $y = x$

Điều kiện xác định: $x>0$

Đạo hàm hàm số $y = {\log _a}x$ là $y' = \dfrac{1}{{x\ln a}}$

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta được:

$f'\left( x \right) = \left[ {{{\log }_2}\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]' = \dfrac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)'}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln 2}} = \dfrac{{2x - 2}}{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\ln 2}}.$

Bước 1: Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm số mũ và logarit để so sánh a, b, c với 0 và 1.

Từ các đồ thị hàm số, ta thấy $y = {a^x}$ và $y = {\log _b}x$ là các hàm số đồng biến nên $a > 1$ và $b > 1$.

Mặt khác, $y = {\log _c}x$ là hàm số nghịch biến nên $0 < c < 1$.

Như thế c sẽ nhỏ hơn a và b.

Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ . Kẻ đường thẳng $y = 1$  từ đó so sánh a với b.

Vẽ đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số $y = {a^x}$ qua đường thẳng $y = x$.

Kẻ đường thẳng $y = 1$ cắt hai đồ thị hàm số $y = {\log _a}x$ và $y = {\log _b}x$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$. Khi đó, ${x_A} = a$ và ${x_B} = b$.

Từ đồ thị hàm số ta thấy ${x_A} < {x_B}$. Vậy $a < b$.

Vậy c<a<b

Hàm số $y = {\log _a}x\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)$

+ TXĐ : $\left( {0; + \infty } \right)$ nên C sai

+ Đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $a > 1$ và nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $0 < a < 1$ nên A đúng

+ Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là $x = 0$ và không có tiệm cận ngang nên B đúng

+ Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung nên D đúng.

Ta có $y = {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 3}}$$\Rightarrow y'\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 3}}$.

ĐK: $x \ne  - \dfrac{1}{5}$

$\begin{array}{l}y = {\log _2}\left| {5x + 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {5x + 1} \right)khix >  - \dfrac{1}{5}\\{\log _2}\left( { - 5x - 1} \right)khix <  - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow y' = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{5}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}},\,khix >  - \dfrac{1}{5}\\\dfrac{{ - 5}}{{\left( { - 5x - 1} \right)\ln 2}},\,khi x <  - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\\ = \dfrac{5}{{\left( {5x + 1} \right)\ln 2}}\, khi x \ne  - \dfrac{1}{5}\end{array}$

$y = {\log _3}x$ $\Rightarrow y' = \dfrac{1}{{x\ln 3}}$.