Hàm số logarit

Hàm số $y = {e^{\log \left( { - {x^2} + 3x} \right)}}$ xác định $\Leftrightarrow  - {x^2} + 3x > 0$$\Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) < 0$$\Leftrightarrow 0 < x < 3$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x + 4 > 0\\{\log _2}\left( {x + 4} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 4\\x + 4 \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 4\\x \ge  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - 3.$

Vậy TXĐ của hàm số là $D = \left[ { - 3; + \infty } \right)$.

Đặt $t = \ln x,\,\,\,t \in \mathbb{R}.$ Hàm số đã cho trở thành $y = \dfrac{{mt - 2}}{{t + m - 3}}\,\,\,\left( {t \ne 3 - m} \right)$ (1)

Xét hàm số $t = \ln x$ với$x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)$ta có: $t'\left( x \right) = \dfrac{1}{x} > 0\,\,\forall x \in \left( {{e^2}; + \infty } \right)$.

Do đó hàm số $t = \ln x$ đồng biến trên khoảng $\left( {{e^2}; + \infty } \right)$, do đó ta có: $t \in \left( {2; + \infty } \right)$.

Yêu cầu bài toán trở thành : Tìm số các giá trị nguyên không dương của tham số $m$ để hàm số $y = f\left( t \right) = \dfrac{{mt - 2}}{{t + m - 3}}$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có: $f'\left( t \right) = \dfrac{{m\left( {m - 3} \right) + 2}}{{{{\left( {t + m - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} - 3m + 2}}{{{{\left( {t + m - 3} \right)}^2}}}.$

Hàm số $y = f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ khi nó xác định trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ đồng thời $f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left( {2; + \infty } \right)$ (Dấu ‘=’ chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}t \ne 3 - m\,\,\forall t \in \left( {2; + \infty } \right)\\{m^2} - 3m + 2 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m \le 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2.$ 

Suy ra không có giá trị nguyên không dương nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có $y = \dfrac{1}{{x + 1 + \ln x}}$$\Rightarrow \dfrac{1}{y} = x + 1 + \ln x$

$\Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{y}} \right)^\prime } = {(x + 1 + \ln x)^\prime }$$\Leftrightarrow  - \dfrac{{{y^\prime }}}{{{y^2}}} = 1 + \dfrac{1}{x}$

Hàm số $y = {\log _{\dfrac{1}{2}}}x$ nghịch biến trên khoảng xác định của nó, do $0 < \dfrac{1}{2} < 1$.

ĐKXĐ: ${9^x} - {3^x} + m > 0 \Leftrightarrow m >  - {9^x} + {3^x}$

Để hàm số: $y = {\log _3}\left( {{9^x} - {3^x} + m} \right)$ có tập xác định là R thì $m >  - {9^x} + {3^x},\forall x \in \mathbb{R}$ (*)

Đặt $t = {3^x},\,t > 0$, xét hàm số $f\left( t \right) =  - {t^2} + t,\,\left( {t > 0} \right),\,\,f'\left( t \right) =  - 2t + 1,\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$

BBT:

Khi đó, (*) $\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4}$.

Hàm số $y = {\log _3}\left( {{x^2} - mx + 2} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}{x^2} - mx + 2 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta  = {m^2} - 8 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2\sqrt 2  < m < 2\sqrt 2 .\end{array}$

Hàm số $y = {\log _3}\left( {{x^2} - mx + 2} \right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}{x^2} - mx + 2 > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta  = {m^2} - 8 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2\sqrt 2  < m < 2\sqrt 2 .\end{array}$

ĐK :$\left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\5x - 2{x^2} - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < x \ne 1\\\dfrac{1}{2} < x < 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} < x < 2\\x \ne 1\end{array} \right.$

TXĐ : $D = \left( {\dfrac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1;2} \right)$

Ta có $y = \dfrac{1}{{x + 1 + \ln x}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}}{{{{\left( {x + 1 + \ln x} \right)}^2}}}$

Khi đó $- \dfrac{{y'}}{{{y^2}}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{{{\left( {x + 1 + \ln x} \right)}^2}}}:\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1 + \ln x} \right)}^2}}}$$= 1 + \dfrac{1}{x}$

$f\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + \pi m} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{{e^x}}}{{{e^x} + \pi m}}$

$f'\left( {\ln 3} \right) = 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{3 + \pi m}} = 3 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{\pi } \approx  - 0,64 \in \left( { - 1;0} \right)$

Từ đồ thị các hàm số đã cho ta thấy:

Hàm số $y = {a^x}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $a > 1$

Hàm số $y = {\log _b}x$ và $y = {\log _c}x$ luôn nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nên $0 < b;c < 1$. Mặt khác, với mọi giá trị của $x$ trong khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ thì  ${\log _b}x > {\log _c}x$ nên $b < c$

Do đó $0 < b < c < 1 < a \Leftrightarrow b < c < a$

Áp dụng công thức ta có:

$\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}$(x>0)

$\begin{array}{l}\left( {\ln 4x} \right)'  = \left( {\ln 4 + \ln x} \right)' \\= \left( {\ln 4} \right) '+ \left( {\ln x} \right)' = 0 + \frac{1}{x} \\= \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\\\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\left( {x > 0} \right)\end{array}$

Hàm số $y = {\log _4}x$ xác định $\Leftrightarrow x > 0.$

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn $\left[ {1;e} \right]$.

Đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {\sqrt x } \right)'.\ln x + \sqrt x .\left( {\ln x} \right)'$$= \dfrac{{\ln x}}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x }} = \dfrac{{\ln x + 2}}{{2\sqrt x }}$

Suy ra $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \ln x + 2 = 0 \Leftrightarrow \ln x =  - 2$$\Leftrightarrow x = {e^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{e^2}}} \notin \left[ {1;e} \right]$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( e \right) = \sqrt e \end{array} \right.$ $\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;e} \right]} f\left( x \right) = f\left( e \right) = \sqrt e$.

Do đó $x_0=e$.

Giới hạn cần nhớ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$

Hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $0 < a < 1$ và đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $a > 1$.

Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 0$ (trục $Oy$)

Điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ nếu ${y_0} = {\log _a}{x_0}$.

- Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm $\left( {1;0} \right)$ và $\left( {a;1} \right)$.

- Với $x = {a^2}$ thì $y = {\log _a}x = {\log _a}{a^2} = 2$ nên đồ thị hàm số đi qua $\left( {{a^2};2} \right)$ nên C sai, D đúng.