Bài tập ôn tập chương 4: Biểu thức đại số

Thay  \(x = \dfrac{1}{2};y = 1\) vào biểu thức \(C\) ta được \(C = \dfrac{{2.{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} - 3.\dfrac{1}{2}.1 + {1^2}}}{{2.\dfrac{1}{2} + 1}} = 0.\)

Ta có: \(B =  - 8x{y^2} - xy + 10 - 9{x^2}y + 3x{y^2} \)\(= \left( { - 8x{y^2} + 3x{y^2}} \right) - 9{x^2}y - xy + 10 \)\(=  - 5x{y^2} - 9{x^2}y - xy + 10\)

$A + B = \left( {4{x^2}y - 4x{y^2} + xy - 7} \right) + \left( { - 5x{y^2} - 9{x^2}y - xy + 10} \right)$$= \left( {4{x^2}y - 9{x^2}y} \right) + \left( { - 4x{y^2} - 5x{y^2}} \right) + \left( {xy - xy} \right) + \left( { - 7 + 10} \right) $$=  - 5{x^2}y - 9x{y^2} + 3$

Vậy tổng hai đa thức A và B là \( - 5{x^2}y - 9x{y^2} + 3\).

Vì \(P\left( x \right)\) có một nghiệm là \(2\)  nên \(P\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow {2.2^2} + m.2 - 10 = 0 \Leftrightarrow 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Nhận thấy  biểu thức \(B\) chứa phép tính cộng và biểu thức \(E\) chứa phép tính trừ nên \(B\) và \(E\) không là đơn thức

Các đơn thức là  \(A = \dfrac{1}{3}{\left( {xy} \right)^2}.\dfrac{3}{5}{x^3}\) ; \(\,C =  - 2{x^3}y.\dfrac{1}{5}{x^2}y;D =  - \dfrac{2}{5}x{y^3}.\left( {\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2}} \right)\);\(F = \dfrac{1}{2}xy\) .

Ta có \(A = \dfrac{1}{3}{\left( {xy} \right)^2}.\dfrac{3}{5}{x^3} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{5}{x^2}{y^2}.{x^3} = \dfrac{1}{5}{x^5}{y^2}\) ;\(F = \dfrac{1}{2}xy\) ;

\(\,C =  - 2{x^3}y.\dfrac{1}{5}{x^2}y = \dfrac{{ - 2}}{5}.{x^5}{y^2}\) ; \(D =  - \dfrac{2}{5}x{y^3}.\left( {\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2}} \right) = \left( { - \dfrac{2}{5}} \right).\left( {\dfrac{1}{4}} \right)x{y^3}{x^2}{y^2} = \dfrac{{ - 1}}{{10}}{x^3}{y^5}\)

Từ đó ta có

\(A.F = \dfrac{1}{5}{x^5}{y^2}.\dfrac{1}{2}xy = \dfrac{1}{{10}}{x^6}{y^3}\)  nên A đúng

\(A + C = \dfrac{1}{5}{x^5}{y^2} + \left( { - \dfrac{2}{5}{x^5}{y^2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{5} + \left( { - \dfrac{2}{5}} \right)} \right){x^5}{y^2} =  - \dfrac{1}{5}{x^5}{y^2}\)  nên B đúng

\(A - C = \dfrac{1}{5}{x^5}{y^2} - \left( { - \dfrac{2}{5}{x^5}{y^2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{5} - \left( { - \dfrac{2}{5}} \right)} \right){x^5}{y^2} = \dfrac{3}{5}{x^5}{y^2}\)  nên C sai

\(A.D = \dfrac{1}{5}{x^5}{y^2}\left( { - \dfrac{1}{{10}}{x^3}{y^5}} \right) =  - \dfrac{1}{{50}}{x^8}{y^7}\)  nên D đúng

 Ta có \(2P\left( x \right) = 2.\left( {5{x^2} + 5x - 4} \right) = 10{x^2} + 10x - 8\)

Khi đó \(2P\left( x \right) + Q\left( x \right) - R\left( x \right)\)\( = 10{x^2} + 10x - 8 + \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) - \left( {4{x^2} - x - 3} \right)\)

\( = 10{x^2} + 10x - 8 + 2{x^2} - 3x + 1 - 4{x^2} + x + 3\) \( = \left( {10{x^2} + 2{x^2} - 4{x^2}} \right) + \left( {10x - 3x + x} \right) + \left( { - 8 + 1 + 3} \right)\)

\( = 8{x^2} + 8x - 4\)

\(\begin{array}{l}h(x) = f(x) - g(x) = \left( { - {x^5} + 2{x^4} - {x^2} - 1} \right) - \left( { - 6 + 2x - 3{x^3} - {x^4} + 3{x^5}} \right)\,\,\,\\\;\;\;\;\;\;\; =  - {x^5} + 2{x^4} - {x^2} - 1 + 6 - 2x + 3{x^3} + {x^4} - 3{x^5}\\\;\;\;\;\;\;\; = \left( { - {x^5} - 3{x^5}} \right) + \left( {2{x^4} + {x^4}} \right) + 3{x^3} - {x^2} - 2x + 5\\\;\;\;\;\;\;\; =  - 4{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} - {x^2} - 2x + 5.\end{array}\)

Thay \(x =  - 1\) vào đa thức $h\left( x \right)$ ta có: \( - 4.{( - 1)^5} + 3.{( - 1)^4} + 3.{( - 1)^3} - {( - 1)^2} - 2.( - 1) + 5 =  - 4.( - 1) + 3.1 + 3.( - 1) - 1 + 2 + 5 = 10\)

Vậy giá trị của $h\left( x \right)$ là $10$  tại \(x =  - 1\).

\({x^2} - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của đa thức \({x^2} - 5x\) là \(\left\{ {0;5} \right\}\)

Ta có \(P\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy đa thức \(P\left( x \right)\)  có hai nghiệm \(x = 1;x =  - \dfrac{2}{3}.\)

Ta có \(Q\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} = 16\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow {x^2} = {2^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của \(Q\left( x \right)\) là \(2 + \left( { - 2} \right) = 0.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) - f\left( x \right) = 2{x^2} + 7x - 2\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = 2{x^2} + 7x - 2 + f\left( x \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow g\left( x \right) = 2{x^2} + 7x - 2 + \left( { - 6{x^2} + 3x - 4} \right)\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = 2{x^2} + 7x - 2 - 6{x^2} + 3x - 4\end{array}\)

 \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \left( {2{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {7x + 3x} \right) + \left( { - 2 - 4} \right) =  - 4{x^2} + 10x - 6\)

Ta có:

\(g(x) + h(x) - f(x) = \left( {2{x^3} + {x^2} + x + 2} \right) + \left( {{x^3} - 3{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{x^3} + 4{x^2} - 5x - 3} \right)\)\( = 2{x^3} + {x^2} + x + 2 + {x^3} - 3{x^2} - 2x + 1 - {x^3} - 4{x^2} + 5x + 3\)\( = 2{x^3} - 6{x^2} + 4x + 6.\)

+ Thu gọn các đa thức A, B ta có

\(\begin{array}{l}A = 5xyz - 5{x^2}y + 8xy + 5 - 2x{y^2} - 3{x^2}y - 4xy\\\;\;\; = \left( { - 5{x^2}y - 3{x^2}y} \right) - 2x{y^2} + 5xyz + \left( {8xy - 4xy} \right) + 5\\\;\;\; =  - 8{x^2}y - 2x{y^2} + 5xyz + 4xy + 5.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}B = 3{x^2}y + 2xyz - x{y^2} + 9xy - 6{x^2}y - xyz - 7\\\;\;\; = \left( {3{x^2}y - 6{x^2}y} \right) - x{y^2} + \left( {2xyz - xyz} \right) + 9xy - 7\\\;\;\; =  - 3{x^2}y - x{y^2} + xyz + 9xy - 7.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A - B = \left( { - 8{x^2}y - 2x{y^2} + 5xyz + 4xy + 5} \right) - \left( { - 3{x^2}y - x{y^2} + xyz + 9xy - 7} \right)\\ =  - 8{x^2}y - 2x{y^2} + 5xyz + 4xy + 5 + 3{x^2}y + x{y^2} - xyz - 9xy + 7\\ = \left( { - 8{x^2}y + 3{x^2}y} \right) + \left( { - 2x{y^2} + x{y^2}} \right) + \left( {5xyz - xyz} \right) + \left( {4x - 9xy} \right) + 5 + 7\\ =  - 5{x^2}y - x{y^2} + 4xyz - 5xy + 12.\end{array}\)

Ta có: \( - 5{x^2}y\) có bậc là $3;$ \( - x{y^2}\) có bậc là 3; \(xyz\) có bậc là $3;$ \( - 5xy\) có bậc là $2$ và $12$ có bậc là $0.$

Vậy đa thức $A-B$ có bậc là $3.$

Theo câu trước ta có

$A =  - 8{x^2}y - 2x{y^2} + 5xyz + 4xy + 5;$\(B =  - 3{x^2}y - x{y^2} + xyz + 9xy - 7.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A + B = \left( { - 8{x^2}y - 2x{y^2} + 5xyz + 4xy + 5} \right) + \left( { - 3{x^2}y - x{y^2} + xyz + 9xy - 7} \right)\\\; =  - 8{x^2}y - 2x{y^2} + 5xyz + 4xy + 5 - 3{x^2}y - x{y^2} + xyz + 9xy - 7\\ = \left( { - 8{x^2}y - 3{x^2}y} \right) + \left( { - 2x{y^2} - x{y^2}} \right) + \left( {5xyz + xyz} \right) + \left( {4x + 9xy} \right) + 5 - 7\\ =  - 11{x^2}y - 3x{y^2} + 6xyz + 13xy - 2.\end{array}\)

Thay \(x =  - 1;\;y = 2;\;z =  - 2\) vào đa thức A + B ta được:

\(\begin{array}{l}A + B =  - 11.{( - 1)^2}.2 - 3.( - 1){.2^2} + 6.( - 1).2.( - 2) + 13.( - 1).2 - 2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - 11.1.2 - 3.( - 1).4 + 6.( - 1).2.( - 2) + 13.( - 1).2 - 2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - 22 + 12 + 24 - 26 - 2 =  - 14.\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f(x) = 2{x^6} + 3{x^2} + 5{x^3} - 2{x^2} + 4{x^4} - {x^3} + 1 - 4{x^3} - {x^4}\\ = 2{x^6} + \left( {4{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {5{x^3} - {x^3} - 4{x^3}} \right) + \left( {3{x^2} - 2{x^2}} \right) + 1\\ = 2{x^6} + 3{x^4} + {x^2} + 1.\end{array}\)

+ Theo câu trước ta có \(f\left( x \right) = 2{x^6} + 3{x^4} + {x^2} + 1.\) Nên

\(\begin{array}{l}f( - 1) = 2.{( - 1)^6} + 3.{( - 1)^4} + {( - 1)^2} + 1 = 2.1 + 3.1 + 1 + 1 = 7\\f(1) = {2.1^6} + {3.1^4} + {1^2} + 1 = 2.1 + 3.1 + 1 + 1 = 7\end{array}\)

Suy ra  \(f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)\)

+ Ta có : \({x^6} \ge 0;\,{x^4} \ge 0;\,{x^4} \ge 0\) với mọi x nên \(f(x) = 2{x^6} + 3{x^4} + {x^2} + 1 \ge 1>0\) với mọi x.

Do đó không tồn tại $x$ để $f\left( x \right) = 0.$

Vậy đa thức $f\left( x \right)$ không có nghiệm.

Vậy cả A, B đều đúng.

+ Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(P\)   ta được \(P\left( 1 \right) =  - {3.1^2} + 2.1 + 1 = 0.\)

+ Thay \(x =  - \dfrac{1}{2}\) vào biểu thức \(Q\) ta được \(Q\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) =  - 3{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - 2 =  \dfrac{{ - 13}}{4}.\)

Vậy \(P\left( 1 \right) = 0;Q\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) =  \dfrac{{ - 13}}{4}.\)

Ta có \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( { - 3{x^2} + 2x + 1} \right) - \left( { - 3{x^2} + x - 2} \right)\)\( =- 3{x^2} + 2x + 1 + 3{x^2} - x + 2 \\= \left( { - 3{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {2x - x} \right) + \left( {1 + 2} \right) = x +3\)

Vậy \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = x +3.\)

Ta có \(P\left( x \right) = Q\left( x \right) \Leftrightarrow P\left( x \right) - Q\left( x \right) = 0\)

Mà theo câu trước ta có \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = x +3\)  nên \(P\left( x \right) - Q\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x +3 = 0 \Leftrightarrow x = -3.\)

Vậy với \(x = -3\) thì \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\)

Vì \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của \(P\left( x \right) = ax + b\) nên ta có

\(P\left( {{x_1}} \right) = a{x_1} + b = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)  và \(P\left( {{x_2}} \right) = a{x_2} + b = 0\)

Suy ra \(P\left( {{x_1}} \right) - P\left( {{x_2}} \right) = a{x_1} + b - \left( {a{x_2} + b} \right) = a{x_1} - a{x_2} = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 0\)

Mà theo đề bài \({x_1}\) khác \({x_2}\)  nên suy ra \(a = 0.\)

Thay \(a = 0\) vào (1) ta được \(0.{x_1} + b = 0 \Leftrightarrow b = 0.\)

Vậy \(a = 0;b = 0.\)