Số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

Ta có \(z = {\left( {\sqrt 2  + 3i} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .3i + {\left( {3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i - 9 =  - 7 + 6\sqrt 2 i.\)

Suy ra \(T =  - 7 + 6\sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}\left( {1 + i} \right)\overline z  = 1 - 3i \\\Leftrightarrow \overline z  = \dfrac{{1 - 3i}}{{1 + i}}= - 1 - 2i\end{array}\)

$\Rightarrow z =  - 1 + 2i$

Ta có: \({z_2} = 2002i \Rightarrow \overline {{z_2}}  =  - 2002i\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow i{z_1} - \overline {{z_2}}  \\= i\left( {2019 + 2020i} \right) - \left( { - 2002i} \right)\\= 2019i - 2020 + 2002i\\=  - 2020 + 4021i\end{array}\)

Vậy phần ảo của số phức \(i{z_1} - \overline {{z_2}} \) là \(4021\)

Lấy mô đun hai vế, ta được \(\left| {iz} \right| = \left| {3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z \right| = 5 \Leftrightarrow 1.\left| z \right| = 5 \Leftrightarrow \left| z \right| = 5.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{z_1} =  - 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \\{z_2} = 1 + 2i \Rightarrow \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy \(T = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 5 + 5 = 10.\)

Ta có $z = 5 - 3i$, suy ra $\bar z = 5 + 3i$.

Do đó $\dfrac{1}{{\bar z}} = \dfrac{1}{{5 + 3i}} = \dfrac{{5 - 3i}}{{\left( {5 + 3i} \right)\left( {5 - 3i} \right)}} = \dfrac{{5 - 3i}}{{25 - 9{i^2}}} = \dfrac{{5 - 3i}}{{34}} = \dfrac{5}{{34}} - \dfrac{3}{{34}}i$

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{{34}}\\b =  - \dfrac{3}{{34}}\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b = \dfrac{1}{{17}}\) .

Ta có số phức liên hợp của số phức \(z = 3 - 5i\) là: \(\overline z  = 3 + 5i.\)

Ta có \(z = 4 - 3i + \left( {1 - 3i + 3{i^2} - {i^3}} \right) = 4 - 3i + \left( {1 - 3i - 3 + i} \right) = 2 - 5i\).

Ta có \(z = 3 - 4i\)\( \Rightarrow iz = i\left( {3 - 4i} \right) = 4 + 3i.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {m^2} = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 21 = 0\end{array}\)

Áp dụng định lý viet ta có tổng các giá trị của m là \(\dfrac{{ - 4}}{2} =  - 2.\)

Ta có ${z_1} - {z_2} =  - 1 + 4i \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {17} $.

Ta có: \(iz = 6 + 5i \Rightarrow z = 5 - 6i\)

Số phức liên hợp của \(z = 5 - 6i\) là \(\overline z  = 5 + 6i\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}z = 2 + i + {i^{2019}}\\z = 2 + i + {\left( {{i^2}} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i + {\left( { - 1} \right)^{1009}}.i\\z = 2 + i - i\\z = 2\\ \Rightarrow \left| z \right| = 2\end{array}\)

Ta có $z = \dfrac{2}{{1 + i\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\left( {1 - i\sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{2 - 2i\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2} - i\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra $\bar z = \dfrac{1}{2} + i\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có $z = 5 - 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i.$

Vậy $\dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right) = \dfrac{1}{{2i}}\left[ {\left( {5 - 3i} \right) - \left( {5 + 3i} \right)} \right] = \dfrac{1}{{2i}}\left( { - 6i} \right) =  - 3 =  - 3 + 0i.$

Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a - bi$.

Theo giả thiết, ta có \(\left( {1 + 2i} \right)\left( {a + bi} \right) + \left( {2 + 3i} \right)\left( {a - bi} \right) = 6 + 2i\)

\( \Leftrightarrow 3a + b + \left( {5a - b} \right)i = 6 + 2i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 6\\5a - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right..\)

Suy ra \(z = 1 + 3i \to \left| z \right| = \sqrt {10} .\)

Đặt $z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $\bar z = a - bi$.

Theo giả thiết, ta có \(5\left( {a - bi} \right) + 3 - i = \left( { - 2 + 5i} \right)\left( {a + bi} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5a + 3 - \left( {5b + 1} \right)i =  - 2a - 5b + \left( {5a - 2b} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a + 3 =  - 2a - 5b\\5b + 1 = 2b - 5a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7a + 5b + 3 = 0\\5a + 3b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\end{array} \right..\end{array}\)

Suy ra \(z = 1 - 2i\), suy ra \(3i{\left( {z - 1} \right)^2} =  - 12i\).

Vậy $P = \left| {3i{{\left( {z - 1} \right)}^2}} \right| = \left| { - 12i} \right| = 12$.

Ta có $z = {z_1}.{z_2} = \left( {2017 - i} \right)\left( {2 - 2016i} \right) = 2017.2 - 2017.2016i - 2i + 2016{i^2}$

$ = 4034 - 4066272i - 2i - 2016 = \left( {4034 - 2016} \right) + \left( { - 4066272i - 2} \right)i = 2018 - 4066274i.$

\(\left( {2 - i} \right)z = 1 + 3i \Rightarrow z = \dfrac{{1 + 3i}}{{2 - i}} =  - \dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{5}i \Rightarrow z\) có phần ảo là \(\dfrac{7}{5}\).

Từ giả thiết, ta có $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i = \dfrac{{1 + i}}{2} \Rightarrow {z^2} = \dfrac{2}{{1 + i}} = 1 - i.$.

Lấy môđun hai vế và chú ý $\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}$, ta được ${\left| z \right|^2} = \sqrt 2  \leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 - 3i\\{z_2} = 3 + i\end{array} \right. \Rightarrow {z_1} + {z_2} = 4 - 2i.\)