Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó
Giả sử $w = a + bi$ . Ta có
\(\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}\)
Theo giả thiết $\left| {z - 2} \right| = 2$ nên ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}\)
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \).
Tìm phần ảo \(b\) của số phức $w = 1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^3} + ... + {\left( {1 + i} \right)^{2018}}$.
Dễ thấy tổng trên là tổng của cấp số nhân có $2019$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = 1 + i$.
Do đó $w = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{2019}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{1 - \left( {1 + i} \right)}} $ $= \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}}$
Ta có ${\left( {1 + i} \right)^2} = 1 + 2i + {i^2} = 2i$.
Suy ra \({\left( {1 + i} \right)^{2019}} = {\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1009}}.\left( {1 + i} \right) = {\left( {2i} \right)^{1009}}\left( {1 + i} \right)\) \( = {2^{1009}}.{i^{1009}}.\left( {1 + i} \right)\) \(= {2^{1009}}.i.\left( {1 + i} \right) = {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)\)
Vậy $w = \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2019}}}}{{ - i}} = \dfrac{{1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)}}{{ - i}} = \dfrac{{i.\left[ {1 - {2^{1009}}.\left( { - 1 + i} \right)} \right]}}{1} = {2^{1009}} + \left( {{2^{1009}} + 1} \right)i$
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
Ta có $w = {i^5}\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right) $ $= i.\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right).$
Dễ thấy $T = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}$ là tổng của cấp số nhân có $14$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = i$.
Do đó $T = {u_1}\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {i^{14}}}}{{1 - i}} = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - i}}$ $ = \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = 1 + i$
Vậy \(w = i\left( {1 + i} \right) = - 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = a + b = 0\)
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Cho hai số phức \(z = 1 + 3i\) và \(w = 1 + i\). Môđun của số phức \(z.\bar w\) bằng
Ta có: \(w = 1 + i \Rightarrow \bar w = 1 - i\)
\( \Rightarrow z\bar w = \left( {1 + 3i} \right)\left( {1 - i} \right)\) \( = 1 - i + 3i - 3{i^2} = 4 + 2i.\)
\( \Rightarrow \left| {z\bar w} \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 .\)
Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = 3 - 4i.\) Số phức \(2{z_1} + 3{z_2}\) là số phức nào sau đây?
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i\\{z_2} = 3 - 4i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2{z_1} + 3{z_2} = 2\left( {1 + 2i} \right) + 3\left( {3 - 4i} \right)\) \( = 2 + 4i + 9 - 12i = 11 - 8i.\)
Cho số phức z thỏa mãn \(2iz + \overline z = 1 - i\). Phần thực của số phức \(z\) là:
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)\( \Rightarrow \overline z = a - bi\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2iz + \overline z = 1 - i\\ \Leftrightarrow 2i\left( {a + bi} \right) + a - bi = 1 - i\\ \Leftrightarrow 2ai - 2b + a - bi = 1 - i\\ \Leftrightarrow \left( {a - 2b} \right) + \left( {2a - b} \right)i = 1 - i\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2b = 1\\2a - b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow z = - 1 - i\).
Vậy phần thực số phức \(z\) là \( - 1\).
Cho các số phức \(z = 2 + i\) và \({\rm{w}} = 3 - 2i.\) Số phức \({\rm{w}} - z\) là:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}z = 2 + i\\{\rm{w}} = 3 - 2i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\rm{w}} - z = \left( {3 - 2} \right) + \left( { - 2 - 1} \right)i = 1 - 3i.\)
Cho hai số phức \({z_1} = 2 - 3i,\,\,{z_2} = - 3 + 6i.\) Khi đó số phức \({z_1} + {z_2}\) bằng:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 - 3i\\\,{z_2} = - 3 + 6i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {z_1} + {z_2}\) \( = \left( {2 - 3} \right) + \left( { - 3 + 6} \right)i\) \( = - 1 + 3i.\)
Gọi \(M,N\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) và \(z' = a' + b'i\). Chọn câu đúng:
Điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\) nên \(M\left( {a;b} \right)\)
Điểm \(N\) biểu diễn số phức \(z' = a' + b'i\) nên \(N\left( {a';b'} \right)\)
Cho hai số phức \(z = a + bi,z' = a' + b'i\). Chọn công thức đúng:
Ta có:
\(z + z' = \left( {a + bi} \right) + \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a + a'} \right) + \left( {b + b'} \right)i\)
\(z - z' = \left( {a + bi} \right) - \left( {a' + b'i} \right) = \left( {a - a'} \right) + \left( {b - b'} \right)i\)
\(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\)
Vậy C đúng.
Cho số phức \(z = a + bi\) và \(\overline z \) là số phức liên hợp của \(z\). Chọn kết luận đúng:
Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\) \( \Rightarrow z + \overline z = 2a;z - \overline z = 2bi;z.\overline z = {a^2} + {b^2}\)
Do đó A đúng.
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
Tìm số phức có phần thực bằng $12$ và mô đun bằng $13$:
Ta có: \({\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}} \)
Vậy phần ảo của số phức đó là $ b=\pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = \pm 5$.
Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \)
Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$.
Cho hai số phức ${z_1} = 1 + i$ và ${z_2} = 2-3i$. Tính môđun của số phức ${z_1} + {z_2}$ .
${z_1} + {z_2} = 3 - 2i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} $.
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $
$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$
Cho số phức \(z = \dfrac{{7 - 11i}}{{2 - i}}\) . Tìm phần thực và phần ảo của \(\overline z \) .
\(z = \dfrac{{7 - 11i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - 11i)(2 + i)}}{{{2^2} + {1^2}}} = \dfrac{{14 + 11 + 7i - 22i}}{5} = \dfrac{{25 - 15i}}{5} = 5 - 3i \Rightarrow \overline z = 5 + 3i\)
Vậy phần thực và phần ảo của \(\overline z \) là $5$ và $3$.
Cho $2$ số phức,\({z_1} = 1 + 3i,{\overline z _2} = 4 + 2i\). Tính môđun của số phức ${z_2} - 2{z_1}$
\({z_2} - 2{z_1} = 4 - 2i - 2(1 + 3i) = 2 - 8i \Rightarrow |{z_2} - 2{z_1}| = \sqrt {{2^2} + {8^2}} = \sqrt {68} = 2\sqrt {17} \)
Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức \(w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z \)
${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i) $
$= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$
Cho số phức \(z = a + bi(ab \ne 0)\). Tìm phần thực của số phức \({\rm{w}} = \dfrac{1}{{{z^2}}}\).
\(z = a + bi \) \(\Rightarrow {z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} \) \(= {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2} \) \(= {a^2} - {b^2} + 2abi\)
\(w = \dfrac{1}{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}} \) \(= \dfrac{1}{{{a^2} - {b^2} + 2abi}} \) $ = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}$ \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {2abi} \right)}^2}}} \)
\( = \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} - 4{a^2}{b^2}{i^2}}} \) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} + 4{a^2}{b^2}}} \) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2}}} \) \(= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}\)
\(= \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{2ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}i\)
Nên phần thực của số phức $w$ là : \(\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}\).
