Số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3z + i\left( {\overline z  + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {a + bi} \right) + i\left( {a - bi + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3a + 3bi + ai + b + 8i = 0\\ \Leftrightarrow 3a + b + \left( {a + 3b + 8} \right)i = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 0\\a + 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tổng phần thực và phần ảo của \(z\) là \(a + b = 1 + \left( { - 3} \right) =  - 2\).

Ta có: \(z = 4 - 3i\) \( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = 5.\)

Ta có \({z_1} = {z_2} \Leftrightarrow a + bi = 2017 - 2018i\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2017\\b =  - 2018\end{array} \right. \Rightarrow S = a + 2b =  - 2019\)

Ta có $z = z' \Leftrightarrow \left( {2x + 3} \right) + \left( {3y - 1} \right)i = 3x + \left( {y + 1} \right)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3 = 3x\\3y - 1 = y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.$

Đặt \(z = a + bi\) \(\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left| z \right| = 1\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow  - 1 \le a \le 1\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} + 3z + \overline z } \right| - \left| {z + \overline z } \right|\\P = \left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2} + 3\left( {a + bi} \right) + a - bi} \right| - \left| {a + bi + a - bi} \right|\\P = \left| {{a^2} - {b^2} + 4a + 2abi + 2bi} \right| - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + 4a} \right)}^2} + {{\left( {2ab + 2b} \right)}^2}}  - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {{a^2} - \left( {1 - {a^2}} \right) + 4a} \right)}^2} + {{\left[ {2b\left( {a + 1} \right)} \right]}^2}}  - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {2{a^2} + 4a - 1} \right)}^2} + 4\left( {1 - {a^2}} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}}  - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {4{a^4} + 16{a^2} + 1 + 16{a^3} - 4{a^2} - 8a + 4\left( { - {a^4} - 2{a^3} + 2a + 1} \right)}  - \sqrt {4{a^2}} \\P = \sqrt {8{a^3} + 12{a^2} + 5}  - \sqrt {4{a^2}} \end{array}\)

Sử dụng MODE 7 ta tìm được \(M = \max P = 3,\,\,m = \min P = 1\).

Vậy\(M + m = 3 + 1 = 4\).

Ta có $\left( {x + y} \right) + \left( {x - y} \right)i = 5 + 3i \Leftrightarrow \left( {x + y - 5} \right) + \left( {x - y - 3} \right)i = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 5 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow S = x + y = 4 + 1 = 5.$

Số phức liên hợp của số phức \(z = 2 + 3i\) là \(\overline z  = 2 - 3i\).

Ta có số phức liên hợp của số phức \(z\) là: \(\overline z  = a - bi.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2z + 1 = \overline z \\ \Leftrightarrow 2\left( {a + bi} \right) + 1 = a - bi\\ \Leftrightarrow 2a + 1 + 2bi = a - bi\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 1 = a\\2b =  - b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b =  - 1 + 0 =  - 1.\end{array}\)

Từ $z = 3 + 2i$, suy ra $\bar z = 3 - 2i$.

Vậy phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \( - 2\).

Giả sử \(z = a + bi{\rm{ }}\left( {a;{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Rightarrow {z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi\)\( \Rightarrow \left| {{z^2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} + 4{a^2}{b^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}  = {a^2} + {b^2}\)

Lại có \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2}.\)

Do đó \(\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}.\)

\(z = 1 + 2i \Rightarrow \)\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \).

Gọi \(A\) là điểm biểu diễn số phức, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 2\\{y_A} =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(A\left( {2; - 3} \right)\).

Ta có: \(z = i\left( {1 - 3i} \right) = i - 3{i^2} = i + 3 = 3 + i\) \( \Rightarrow \overline z  = 3 - i.\)

Số phức \(\overline z \) có phần thực là \(3\) và phần ảo là \( - 1.\)

\( \Rightarrow S = 3 + \left( { - 1} \right) = 2.\)

Phần thực của số phức \(z = 6 - 2i\) bằng \(6\)

Ta có $w = iz = i\left( {1 - 2i} \right) = i - 2{i^2} = i + 2 = 2 + i$.

Vậy điểm biểu diễn số phức $w$ có tọa độ \(\left( {2;1} \right)\).

Ta có \(z = {z_1} + {z_2} = \left( {5 - 7i} \right) + \left( {2 + 3i} \right) = \left( {5 + 2} \right) + \left( { - 7 + 3} \right)i = 7 - 4i\).

Ta có $w = {z_1} - 2{z_2} = 1 + 2i - 2\left( {2 - 3i} \right)$

$ = \left( {1 + 2i} \right) + \left( { - 4 + 6i} \right) = \left( {1 - 4} \right) + \left( {2 + 6} \right)i =  - 3 + 8i$.

Ta có $z = 3{z_1} - 2{z_2} = 3\left( {1 + 2i} \right) - 2\left( {2 - 3i} \right)$

$ = \left( {3 + 6i} \right) + \left( { - 4 + 6i} \right) = \left( {3 - 4} \right) + \left( {6 + 6} \right)i =  - 1 + 12i.$

Vậy $z = 3{z_1} - 2{z_2}$ có phần ảo bằng $a = 12$.

Ta có $i.{z_2} = i\left( {4 - 3i} \right) = 4i - 3{i^2} = 3 + 4i = {z_1} \Rightarrow {z_1} = i.{z_2}$.

Ta có \(z = i\left( {1 - i} \right) = i - {i^2} = i - \left( { - 1} \right) = 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right..\)