Số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

Bước 1: Tìm z

Ta có $(1 + 2i)z = 5{(1 + i)^2}$$\Leftrightarrow z = \dfrac{{5{{(1 + i)}^2}}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{10i}}{{1 + 2i}}$$= \dfrac{{10i(1 - 2i)}}{5} = 4 + 2i$.

Bước 2: Tìm tổng phần thực và phần ảo của w

Suy ra $w = \bar z + iz = (4 - 2i) + i(4 + 2i)$$= 2 + 2i$.

Vậy số phức $w$ có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2. Suy ra ${2^2} + {2^2} = 8$.

Số phức liên hợp của số phức $z = 2 - 5i$ là: $\overline z  = 2 + 5i.$

Ta có $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$ nên B đúng.

Số phức liên hợp của $z = 6 + 7i$ là $\overline z  = 6 - 7i$.

Ta có $iz = 5 + 4i \Rightarrow z = \dfrac{{5 + 4i}}{i} = 4 - 5i$

Vậy $z = 4 - 5i$ có số phức liên hợp là $\overline z  = 4 + 5i$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\\,{z_2} = 2 - 3i\end{array} \right.$ $\Rightarrow {\rm{w}} = {z_1} + {z_2}$ $= \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 - 3} \right)i = 3 - 2i$

$\Rightarrow$ Phần ảo của số phức ${\rm{w}}$ là $- 2.$

Đặt $z = a + bi$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\\left| {z - \left( {7 + 7i} \right)} \right| = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\{\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b - 7} \right)^2} = 25\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\{a^2} + {b^2} - 14a - 14b + 98 = 25\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\a + b = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7 - a\\{a^2} + {\left( {7 - a} \right)^2} = 25\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7 - a\\2{a^2} - 14a + 24 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4,b = 3\\a = 3,b = 4\end{array} \right.\end{array}$

  $\Rightarrow$ hai số phức cần tìm là $4 + 3i,3 + 4i \Rightarrow T = {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = {\left| {\left( {4 + 3i} \right) - \left( {3 + 4i} \right)} \right|^2} = {\left| {1 - i} \right|^2} = 2$.

Ta có:$z = 2 + 3i$ $\Rightarrow \overline z  = 2 - 3i$

$\Rightarrow \overline z$ có phần ảo là $- 3.$

${z_1} + {z_2} = \left( {3 - 2i} \right) + \left( { - 5 + 4i} \right) =  - 2 + 2i$

Số phức $z = 4 - 5i$ có phần thực là $4$ và phần ảo là $- 5.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)x + \left( {2 + 3y} \right)i = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow 2x - 3xi + \left( {2 + 3y} \right)i = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow 2x + \left( { - 3x + 3y + 2} \right)i = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2\\ - 3x + 3y + 2 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array}$

Số phức liên hợp của số phức $z = 5 + 4i$ là: $\overline z  = 5 - 4i.$

Ta có: $z + {\rm{w}} = 5 + 2i + 1 - 4i = 6 - 2i$

Số phức $z$ là số thực nếu $b = 0$.

Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực $a = 3,$ phần ảo $b =  - 2\sqrt 2$.

Vậy $P = ab =  - 6\sqrt 2$.

Số phức $z =  - 1 - m + mi$ là số thực nếu $m = 0$.

Ta có: $z = \sqrt 3  - 1$ $\Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 2.$

Trong các số phức đã cho chỉ có số phức ở đáp án B có phần thực bằng $0$.

Để $z$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1.$

Ta có $z = {\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5$$= {x^2} + 2ixy - {y^2} - 2x - 2iy + 5$

$= \left( {{x^2} - {y^2} - 2x + 5} \right) + 2\left( {xy - y} \right)i.$

Để $z$ là số thực $\Leftrightarrow 2\left( {xy - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$.