Số phức và các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức

Bước 1: Tìm z

Ta có \((1 + 2i)z = 5{(1 + i)^2}\)\( \Leftrightarrow z = \dfrac{{5{{(1 + i)}^2}}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{10i}}{{1 + 2i}}\)\( = \dfrac{{10i(1 - 2i)}}{5} = 4 + 2i\).

Bước 2: Tìm tổng phần thực và phần ảo của w

Suy ra \(w = \bar z + iz = (4 - 2i) + i(4 + 2i)\)\( = 2 + 2i\).

Vậy số phức \(w\) có phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2. Suy ra \({2^2} + {2^2} = 8\).

Số phức liên hợp của số phức \(z = 2 - 5i\) là: \(\overline z  = 2 + 5i.\)

Ta có \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|\) nên B đúng.

Số phức liên hợp của \(z = 6 + 7i\) là \(\overline z  = 6 - 7i\).

Ta có \(iz = 5 + 4i \Rightarrow z = \dfrac{{5 + 4i}}{i} = 4 - 5i\)

Vậy \(z = 4 - 5i\) có số phức liên hợp là \(\overline z  = 4 + 5i\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\\,{z_2} = 2 - 3i\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {\rm{w}} = {z_1} + {z_2}\) \( = \left( {1 + 2} \right) + \left( {1 - 3} \right)i = 3 - 2i\)

\( \Rightarrow \) Phần ảo của số phức \({\rm{w}}\) là \( - 2.\)

Đặt \(z = a + bi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\\left| {z - \left( {7 + 7i} \right)} \right| = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\{\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b - 7} \right)^2} = 25\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\{a^2} + {b^2} - 14a - 14b + 98 = 25\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 25\\a + b = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7 - a\\{a^2} + {\left( {7 - a} \right)^2} = 25\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 7 - a\\2{a^2} - 14a + 24 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4,b = 3\\a = 3,b = 4\end{array} \right.\end{array}\)

  \( \Rightarrow \) hai số phức cần tìm là \(4 + 3i,3 + 4i \Rightarrow T = {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = {\left| {\left( {4 + 3i} \right) - \left( {3 + 4i} \right)} \right|^2} = {\left| {1 - i} \right|^2} = 2\).

Ta có:\(z = 2 + 3i\) \( \Rightarrow \overline z  = 2 - 3i\)

\( \Rightarrow \overline z \) có phần ảo là \( - 3.\)

\({z_1} + {z_2} = \left( {3 - 2i} \right) + \left( { - 5 + 4i} \right) =  - 2 + 2i\)

Số phức \(z = 4 - 5i\) có phần thực là \(4\) và phần ảo là \( - 5.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2 - 3i} \right)x + \left( {2 + 3y} \right)i = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow 2x - 3xi + \left( {2 + 3y} \right)i = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow 2x + \left( { - 3x + 3y + 2} \right)i = 2 + 2i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2\\ - 3x + 3y + 2 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Số phức liên hợp của số phức \(z = 5 + 4i\) là: \(\overline z  = 5 - 4i.\)

Ta có: \(z + {\rm{w}} = 5 + 2i + 1 - 4i = 6 - 2i\)

Số phức \(z\) là số thực nếu \(b = 0\).

Số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\) có phần thực \(a = 3,\) phần ảo \(b =  - 2\sqrt 2 \).

Vậy \(P = ab =  - 6\sqrt 2 \).

Số phức \(z =  - 1 - m + mi\) là số thực nếu \(m = 0\).

Ta có: \(z = \sqrt 3  - 1\) \( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 2.\)

Trong các số phức đã cho chỉ có số phức ở đáp án B có phần thực bằng \(0\).

Để \(z\) là số thuần ảo \( \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1.\)

Ta có \(z = {\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\)\( = {x^2} + 2ixy - {y^2} - 2x - 2iy + 5\)

\( = \left( {{x^2} - {y^2} - 2x + 5} \right) + 2\left( {xy - y} \right)i.\)

Để \(z\) là số thực \( \Leftrightarrow 2\left( {xy - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.\).