Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 1\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn  nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z^2} + 3z + \overline z } \right| - \left| {z + \overline z } \right|\). Tính \(M + m.\)

Đặt \(z = a + bi\) \(\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\left| z \right| = 1\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow  - 1 \le a \le 1\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left| {{z^2} + 3z + \overline z } \right| - \left| {z + \overline z } \right|\\P = \left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2} + 3\left( {a + bi} \right) + a - bi} \right| - \left| {a + bi + a - bi} \right|\\P = \left| {{a^2} - {b^2} + 4a + 2abi + 2bi} \right| - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2} + 4a} \right)}^2} + {{\left( {2ab + 2b} \right)}^2}}  - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {{a^2} - \left( {1 - {a^2}} \right) + 4a} \right)}^2} + {{\left[ {2b\left( {a + 1} \right)} \right]}^2}}  - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {{{\left( {2{a^2} + 4a - 1} \right)}^2} + 4\left( {1 - {a^2}} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}}  - \left| {2a} \right|\\P = \sqrt {4{a^4} + 16{a^2} + 1 + 16{a^3} - 4{a^2} - 8a + 4\left( { - {a^4} - 2{a^3} + 2a + 1} \right)}  - \sqrt {4{a^2}} \\P = \sqrt {8{a^3} + 12{a^2} + 5}  - \sqrt {4{a^2}} \end{array}\)

Sử dụng MODE 7 ta tìm được \(M = \max P = 3,\,\,m = \min P = 1\).

Vậy\(M + m = 3 + 1 = 4\).