Tìm phần ảo của số phức \(z\), biết số phức liên hợp là \(\bar z = 2 + i + {(1 + i)^2} + \) \({(1 + i)^3} +  \cdots  + {(1 + i)^{2019}}\)

Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 1 + i\) và công bội \(q = 1 + i\) ta có:

\(\overline z  = 2 + i + {(1 + i)^2} + {(1 + i)^3}\)\( +  \ldots  + {(1 + i)^{2019}}\)\( = 1 + \left( {1 + i} \right) + {(1 + i)^2} + {(1 + i)^3}\)\( +  \ldots  + {(1 + i)^{2019}}\)

\( = \dfrac{{1 - {{(1 + i)}^{2020}}}}{{1 - (1 + i)}} = \dfrac{{1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2020}}}}{{ - i}}\)\( = \dfrac{{i\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2020}}} \right]}}{{ - {i^2}}} = i\left[ {1 - {{\left( {1 + i} \right)}^{2020}}} \right]\)\(\begin{array}{l} = i - i{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]^{1010}} = i - i{\left( {2i} \right)^{1010}}\\ = i - {2^{1010}}.{i^{1011}} = i - {2^{1010}}.{i^3}.{i^{1008}}\\ = i + {2^{1010}}i = i\left( {1 + {2^{1010}}} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow z =  - i\left( {1 + {2^{1010}}} \right)\)

Phần ảo của số phức \(z\) là \( - \left( {{2^{1010}} + 1} \right)\)