Phương trình logarit và một số phương pháp giải

${\left( {{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right)^2} - \left( {\sqrt 3  + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3  = 0$   điều kiện của phương trình là $x > 0$

$\Leftrightarrow {\left( {{{\log }_3}x} \right)^2} - \left( {\sqrt 3  + 1} \right){\log _3}x + \sqrt 3  = 0$

Đặt $t = \log_{3}x$ , phương trình trở thành:

${t^2} - \left( {\sqrt 3  + 1} \right)t + \sqrt 3  = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \sqrt 3 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = {3^{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3.3^{\sqrt 3 }} = {3^{\sqrt 3  + 1}}$

+ Cô lập  $m : m(\ln (1 - x) - 1) = \ln x \Rightarrow m = \dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}$ với $1 > x > 0$ .

+ Nhận xét đáp án: ta thấy $\dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}} > 0{\rm{   }},\forall 0 < x < 1$. Loại C và D

+ Tính giới hạn của $y =\dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}$ khi $x$ tiến dần tới $1$ thì thấy $y$ dần tiến tới $0$ . Loại B. 

Đặt $t = {\log _3}x$ suy ra phương trình trở thành ${t^2} - (m + 2)t + 3m - 2 = 0$(*).

Để phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thì (*) cũng có hai nghiệm ${t_1};{t_2}$ .

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ${t_1};{t_2}$

$\Leftrightarrow \Delta  > 0\, \Leftrightarrow \,{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {3^{{t_1}}}\\{x_2} = {3^{{t_2}}}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = {3^{{t_1} + {t_2}}} = 9 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 2.$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: ${t_1} + {t_2} = m + 2$

$\Rightarrow m + 2 = 2 \Leftrightarrow m = 0$.

Suy ra $m \in \left( { - 1;1} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _2}\dfrac{{3x + 3y + 4}}{{{x^2} + {y^2}}} = \left( {x + y - 1} \right)\left( {2x + 2y - 1} \right) - 4\left( {xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \left( {x + y - 1} \right)\left[ {2\left( {x + y} \right) - 1} \right] - 4\left( {xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2{\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) + 1 - 4\left( {xy + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 4xy - \left( {3x + 3y} \right) + 1 - 4xy - 4\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) - {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {3x + 3y + 4} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) + \left( {3x + 3y + 4} \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {\log _2}2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {3x + 3y + 4} \right) + \left( {3x + 3y + 4} \right) = {\log _2}\left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right) + \left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Xét hàm số đặc trưng $f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)$ ta có $f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Do đó $\left( * \right) \Leftrightarrow 3x + 3y + 4 = 2{x^2} + 2{y^2}$.

Ta có: ${\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 3x + 3y + 4$.

$\Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 4 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x + y \le 4$.

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $0 < x + y \le 4$.

Xét biểu thức $P = \dfrac{{5x + 3y - 2}}{{2x + y + 1}} = \dfrac{{2\left( {2x + y + 1} \right) + x + y - 4}}{{2x + y + 1}} = 2 + \dfrac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}}$.

Do $x + y \le 4 \Leftrightarrow x + y - 4 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + y - 4}}{{2x + y + 1}} \le 0$ $\Rightarrow P \le 2$.

Vậy ${P_{\max }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\x = y\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2$.

Đặt ${x^2} - \sqrt 2 x = t$ khi đó ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t >  - 2;t \ne 0)$

Đặt ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}|t| = {3^a}\\t + 2 = {5^a}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {{5^a} - 2} \right| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} - 2 =  - {3^a}\\{5^a} - 2 = {3^a}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} + {3^a} = 2(1)\\{5^a} = {3^a} + 2(2)\end{array} \right.$

Xét (1): $f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)$ nên hàm số đồng biến trên $R$

Mặt khác $f(0) = 2$ do đó phương trình $f(a) = f(0)$ có 1 nghiệm duy nhất $a = 0 \Rightarrow t = -1$

Suy ra: ${x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Xét (2) $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} = 1$.

Đặt $g(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{3}{5} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{1}{5} < 0(\forall a \in R)$

Nên hàm số $g(a)$ nghịch biến trên $R$ do đó phương trình $g(a) = 1$ có tối đa 1 nghiệm.

Mà $g(a) = g(1)$ nên $a = 1$

Suy ra $t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}\dfrac{c}{b} - 2{\log _b}\dfrac{c}{b} - 3\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}c - {\log _a}b - 2{\log _b}c - 1\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _b}c.{\log _a}b - {\log _a}b - 2{\log _b}c - 1\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt ${\log _a}b = x \Rightarrow {\log _b}c = x - P$.

Phương trình (*) $\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = \left( {x - P} \right)x - x - 2\left( {x - P} \right) - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 3x + 2P - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}$

Ta có: $\Delta  = {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) =  - 3{P^2} + 2P + 5$

Phương trình (**) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\M = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$.

Vậy $S = m - 3M =  - 1 - 3.\dfrac{5}{3} =  - 6$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\left( {\dfrac{{{c^2}}}{b}} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\\ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + {\log _b}c.\left( {2{{\log }_b}c - 1} \right) + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b\\ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + 2\log _b^2c - {\log _b}c + 9{\log _a}b.{\log _b}c = 4{\log _a}b\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt $x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = {\log _a}b > {\log _a}1 = 0\\y = {\log _b}c > {\log _b}1 = 0\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,a,b,c > 1} \right)$.

Khi đó phương trình (*) trở thành:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4{x^2} + 2{y^2} - y + 9xy = 4x\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + xy + 8xy + 2{y^2} - y - 4x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {4x + y} \right) + 2y\left( {4x + y} \right) - \left( {4x + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4x + y} \right)\left( {x + 2y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + y = 0\\x + 2y - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}$

TH1: $y =  - 4x$ loại do $x,\,\,y > 0$.

TH2: $x + 2y - 1 = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 1$, khi đó ta có: ${\log _a}b + {\log _b}{c^2} = x + 2y = 1$.

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\log \left( {x + y} \right) = z\\\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = {10^z}\\{x^2} + {y^2} = {10.10^z}\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 10\left( {x + y} \right)$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = a.{\left( {{{10}^z}} \right)^3} + b.{\left( {{{10}^z}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = a.{\left( {x + y} \right)^3} + b.{\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - xy = a{\left( {x + y} \right)^2} + b\left( {x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - xy = a\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + b.\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{10}}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - xy = \left( {a + \dfrac{b}{{10}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2a.xy\end{array}$

Đồng nhất hệ số ta có $\left\{ \begin{array}{l}1 = a + \dfrac{b}{{10}}\\ - 1 = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{2}\\b = 15\end{array} \right.$.

Vậy $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 4 + \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{901}}{{225}} \approx 4,004 \in \left( {4;5} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{4^{ - \left| {x - m} \right|}}.{\log _{\sqrt 2 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {2^{2x - {x^2}}}.{\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2\left| {x - m} \right|}}.2.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - {2^{2x - {x^2}}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {2^{ - 2\left| {x - m} \right| + 1}}.{\log _2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{2x - {x^2}}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x}}.lo{g_2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{2\left| {x - m} \right| - 1}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x + 2}}.lo{g_2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {2^{2\left| {x - m} \right| + 2}}.{\log _2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\end{array}$

Xét hàm đặc trưng $f\left( t \right) = {2^t}.{\log _2}t\,\,\left( {t \ge 2} \right)$ ta có

$f'\left( t \right) = {2^t}.\ln 2.{\log _2}t + {2^t}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t \ge 2$, do đó hàm số đồng biến trên $\left[ {2; + \infty } \right)$.

Lại có $f\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = f\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 = 2\left| {x - m} \right| + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2\left| {x - m} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - m} \right|\,\,\left( * \right)\end{array}$

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $m = \dfrac{1}{2},\,\,m = 1,\,\,m = \dfrac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}\dfrac{c}{b} = {\log _a}\dfrac{c}{{{a^3}b}}\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - {\log _a}\left( {{a^3}b} \right)\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c + 2{\log _b}c - 2 = {\log _a}c - 3 - {\log _a}b\\ \Leftrightarrow \log _a^2b + \log _b^2c = {\log _a}b.lo{g_b}c - 2{\log _b}c - {\log _a}b - 1\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Đặt $x = {\log _a}b,\,\,y = {\log _b}c$, khi đó ta có:

$\begin{array}{l}P = {\log _a}ab - {\log _b}bc\\P = 1 + {\log _a}b - 1 - {\log _b}c\\P = x - y \Rightarrow y = x - P\end{array}$

Thay $x,\,\,y$ vào (1) ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = xy - 2y - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {x - P} \right)^2} = x\left( {x - P} \right) - 2\left( {x - P} \right) - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2Px + {P^2} = {x^2} - Px - 2x + 2P - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {P - 3} \right)x + {P^2} - 2P + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Để tồn tại các số $a,\,\,b,\,\,c$ thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (2) phải có nghiệm.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {P - 3} \right)^2} - 4\left( {{P^2} - 2P + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 6P + 9 - 4{P^2} + 8P - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 3{P^2} + 2P + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 1 \le P \le \dfrac{5}{3}\end{array}$ 

Vậy $m =  - 1,\,\,M = \dfrac{5}{3}$ $\Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2.{\left( { - 1} \right)^2} + 9.{\left( {\dfrac{5}{3}} \right)^2} = 27$.

Bước 1:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x\sqrt 2  + 2 > 0\\{x^2} - x\sqrt 2  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne \sqrt 2 \end{array} \right.$

Đặt ${\log _3}\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - x\sqrt 2  + 2} \right) = t$

Ta có: $\left| {{x^2} - x\sqrt 2 } \right| = {3^t},{x^2} - x\sqrt 2  + 2 = {5^t}$

Bước 2: Xét các trường hợp ${x^2} - x\sqrt 2 >0$ và ${x^2} - x\sqrt 2 <0$

TH1: ${x^2} - x\sqrt 2  = {3^t}$

Ta có ${3^t} + 2 = {5^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^t} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} = 1\left( 1 \right)$

Dễ thấy hàm số $f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^t} + 2{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mà $\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = f\left( 1 \right)$.

Vậy phương trình (1) nhận nghiệm $t = 1$ là nghiệm duy nhất

Ta có

$\begin{array}{l}{x^2} - x\sqrt 2  = {3^1} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - x\sqrt 2  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt {14} }}{2}\left( {tm} \right)\\x = \dfrac{{\sqrt 2  - \sqrt {14} }}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

TH2: ${x^2} - x\sqrt 2  =  - {3^t}$

Ta có $- {3^t} + 2 = {5^t} \Leftrightarrow {5^t} + {3^t} = 2\left( 2 \right)$

Ta thấy hàm số $g\left( t \right) = {5^t} + {3^t}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Mà $\left( 2 \right) \Leftrightarrow g\left( t \right) = g\left( 0 \right)$

Suy ra $t = 0$$\Rightarrow {x^2} - x\sqrt 2  + 1 = 0\left( {VN} \right)$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bước 1: Biểu diễn lượng Poloni 210 theo m sau n ngày.

Lượng Poloni 210 ban đầu $T_{0}=m$. Lượg Poloni 210 còn lại sau 138 ngày: $T_{1}=\dfrac{1}{2} m$

Lượng Poloni 210 còn lại sau $138 \times 2$ ngày: $T_{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} m$

Cứ như vậy lượng Poloni 210 còn lại sau $138 \times n$ ngày: $T_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} m$

Bước 2: Lập phương trình từ giả thiết và tìm n, từ đó biểu diễn lượng Poloni còn lại sau n ngày so với khối lượng ban đầu.

Yêu cầu bài toán tương đương $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} m=\dfrac{1}{10} m \Leftrightarrow n=\log _{\dfrac{1}{2}} \dfrac{1}{10}$

Vậy sau ít nhất $138 \times n=138 \times \log _{\dfrac{1}{2}} \dfrac{1}{10} \approx 459$ ngày thì khối lượng Poloni 210 còn lại bằng $\dfrac{1}{10}$ khối lượng ban đầu.

Bước 1: Tính diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2 \pi R h=\pi .6 .25=150 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right) .$

Khi lăn sơn quay một vòng sẽ quét được một diện tích bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Bước 2: Tính diện tích sau khi trục lăn quay 10 vòng

Do đó trục lăn quay 10 vòng sẽ quét được diện tích là

$S=10 . S_{xq}=1500 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$

Bước 1: Biến đổi phương trình, xét hàm đặc trưng $f(t)=t^{2}+t$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

$\begin{array}{l}m + \sqrt {m + {2^x}}  = {2^{2x}}\\ \Leftrightarrow \left( {m + {2^x}} \right) + \sqrt {m + {2^x}}  = {2^{2x}} + {2^x}{\rm{ (1)}}\end{array}$

Vì m nguyên dương nên $\sqrt{m+2^{x}} \geq \sqrt{2^{x}}>0$

Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^{2}+t$ trên $[0 ;+\infty)$

Ta có $f^{\prime}(t)=2 t+1 \geq 0, \forall t \in[0 ;+\infty)$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên khoảng $[0 ;+\infty)$

Bước 2: Lập phương trình từ hàm đặc trưng. Tìm m.

Do đó $(1) \Leftrightarrow f\left(\sqrt{m+2^{x}}\right)=f\left(2^{x}\right) \Leftrightarrow \sqrt{m+2^{x}}=2^{x} \Leftrightarrow m=2^{2 x}-2^{x}(2)$

Đặt $a=2^{x}, a>0$. Ta có $(2) \Leftrightarrow m=g(a)=a^{2}-a$

Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow$ đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=g(a)$ $\Leftrightarrow m \geq-\dfrac{1}{4}$ mà $m$ là giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2020 nên $m \in\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 2019\}$

Vậy có 2019 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$

Đặt $t = {\log _4}x$

Phương trình đã cho trở thành:

$\begin{array}{l}2{t^2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}x = 2\\{\log _4}x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Tích các nghiệm là 8.