Số nghiệm của phương trình ${\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)$là

Đặt ${x^2} - \sqrt 2 x = t$ khi đó ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2)(t >  - 2;t \ne 0)$

Đặt ${\log _3}|t| = {\log _5}(t + 2) = a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}|t| = {3^a}\\t + 2 = {5^a}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {{5^a} - 2} \right| = {3^a} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} - 2 =  - {3^a}\\{5^a} - 2 = {3^a}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^a} + {3^a} = 2(1)\\{5^a} = {3^a} + 2(2)\end{array} \right.$

Xét (1): $f(a) = {5^a} + {3^a} \Rightarrow f'(a) = {5^a}\ln 5 + {3^a}\ln 3 > 0(\forall a \in R)$ nên hàm số đồng biến trên $R$

Mặt khác $f(0) = 2$ do đó phương trình $f(a) = f(0)$ có 1 nghiệm duy nhất $a = 0 \Rightarrow t = -1$

Suy ra: ${x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Xét (2) $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} = 1$.

Đặt $g(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a} \Rightarrow g'(a) = {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{3}{5} + 2.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^a}\ln \dfrac{1}{5} < 0(\forall a \in R)$

Nên hàm số $g(a)$ nghịch biến trên $R$ do đó phương trình $g(a) = 1$ có tối đa 1 nghiệm.

Mà $g(a) = g(1)$ nên $a = 1$

Suy ra $t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình đã cho có $2$ nghiệm.