Bài tập ôn tập chương 1

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{\left| x \right|}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 1$.

Suy ra tiệm cận ngang $y = 1$.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận $\Leftrightarrow  2m - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow m \ne 1$.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x =  - 1$ và tiệm cận ngang $y = 2m + 1$.

Do đó đường tiệm cận đi qua điểm $A\left( { - 2;\;7} \right) \Leftrightarrow 2m + 1 = 7 \Leftrightarrow m = 3$.(thỏa mãn)

$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow {y^,} = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có 2 nghiệm ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} =  - 1 + 3 \Rightarrow b =  - 3a\left( 1 \right)$;

${x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{{3a}} =  - 1.3 \Rightarrow c =  - 9a\left( 2 \right)$

Mà 2 điểm cực trị là $( - 1;18)$ và $(3; - 16)$ thuộc đồ thị nên ta có:

$- a + b - c + d = 18\left( 3 \right)$

$27a + 9b + 3c + d =  - 16\left( 4 \right)$.

Giải hệ 4 phương trình$\left( 1 \right)$,$\left( 2 \right)$,$\left( 3 \right)$,$\left( 4 \right)$ ta có:

$a = \dfrac{{17}}{{16}}$,$b = \dfrac{{ - 51}}{{16}}$,$c = \dfrac{{ - 153}}{{16}}$,$d = \dfrac{{203}}{{16}}$$\Rightarrow a + b + c + d = 1$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$$\Rightarrow m \notin \left[ {1;\;2} \right]$.

$f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m$$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}}$

Theo đề bài $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) =  - 2 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}} =  - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $N\left( { - 2;0} \right)$.

Ta có $0 = {\left( { - 2} \right)^4} - 2m{\left( { - 2} \right)^2} + 2m - 4 \Leftrightarrow m = 2$

Ta có: $- {x^3} + 3x - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow  - 5m + 3 = {x^3} - 3x + 2$.

Phương trình có hai nghiệm âm một nghiệm dương $\Leftrightarrow 2 <  - 5m + 3 < 4 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{5} < m < \dfrac{1}{5}$.

Đồ thị $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$  là:

Phương trình có $4$  nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = 3$.

Gọi hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$.

Ta có: $V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \dfrac{{64\pi }}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{64}}{{{r^2}}}$

Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Ta có: ${S_{tp}} = 2{S_{day}} + {S_{xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}$.

Xét hàm số $f\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}$ với $r > 0$.

Ta có $f'\left( r \right) = 4\pi r - \dfrac{{128\pi }}{{{r^2}}};f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}\,$.

Lập bảng biến thiên ta có $f\left( r \right)$ đạt GTNN khi $r = \sqrt[3]{{32}}$.