Biết đồ thị hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có 2 điểm cực trị là $\left( { - 1;18} \right)$ và $\left( {3; - 16} \right).$ Tính $a + b + c + d.$

\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow {y^,} = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} =  - 1 + 3 \Rightarrow b =  - 3a\left( 1 \right)\);

\({x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{{3a}} =  - 1.3 \Rightarrow c =  - 9a\left( 2 \right)\)

Mà 2 điểm cực trị là \(( - 1;18)\) và \((3; - 16)\) thuộc đồ thị nên ta có:

\( - a + b - c + d = 18\left( 3 \right)\)

\(27a + 9b + 3c + d =  - 16\left( 4 \right)\).

Giải hệ 4 phương trình\(\left( 1 \right)\),\(\left( 2 \right)\),\(\left( 3 \right)\),\(\left( 4 \right)\) ta có:

\(a = \dfrac{{17}}{{16}}\),\(b = \dfrac{{ - 51}}{{16}}\),\(c = \dfrac{{ - 153}}{{16}}\),\(d = \dfrac{{203}}{{16}}\)\( \Rightarrow a + b + c + d = 1\)