Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 2\) có hai điểm cực trị \(A\), \(B\) sao cho \(A\), \(B\) và \(M\left( {1; - 2} \right)\) thẳng hàng.
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx = 3x\left( {x - 2m} \right);{\rm{ }}y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\)
Hàm số có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 \ne 2m \Leftrightarrow m \ne 0.$
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A\left( {0;2} \right)$ và $B\left( {2m;2 - 4{m^3}} \right)$.
Suy ra $\overrightarrow {MA} = \left( { - 1;4} \right)$, $\overrightarrow {MB} = \left( {2m - 1;4 - 4{m^3}} \right)$.
Theo giả thiết \(A\), \(B\) và \(M\) thẳng hàng $ \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{4 - 4{m^3}}}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0{\rm{ }}\left( {L} \right)\\m = \pm \sqrt 2 {\rm{ }}\left( {TM} \right)\end{array} \right..$
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {4{m^2} - 1} \right)x + 3\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị?
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là \(2m + 1\) trong đó \(m\) là số điểm cực trị dương của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Ta có hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị.
\( \Rightarrow 2m + 1 = 3\)
\( \Rightarrow m = 1\).
Lúc này, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) Tìm \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương.
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} + 4mx + 4{m^2} - 1\).
Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), ta có:
\(\Delta ' = 4{m^2} - 4{m^2} + 1 = 1 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \)Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 2m + 1\\{x_2} = - 2m - 1\end{array} \right.\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 2m - 1 \le 0\\ - 2m + 1 > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\).
Nên \(m \in \left\{ 0 \right\}\).
Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án B.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m - 4} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị là:
Hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m - 4} \right|\) có 5 điểm cực trị khi phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m - 4 = 0\) có 3 nghiệm thực phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 4 = - m\) có 3 nghiệm thực phân biệt.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 4\) có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).
BBT:
Để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 4 = - m\) có 3 nghiệm thực phân biệt thì \( - 8 < - m < - 4 \Leftrightarrow 4 < m < 8\).
Vậy \(m \in \left( {4;8} \right)\).
Cho \(y = \left( {m - 3} \right){x^3} + 2\left( {{m^2} - m - 1} \right){x^2} + \left( {m + 4} \right)x - 1\). Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục \(Oy\). Hỏi \(S\) có bao nhiêu phần tử ?
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y' = 3\left( {m - 3} \right){x^2} + 4\left( {{m^2} - m - 1} \right)x + m + 4\)
Xét \(y' = 0\)\( \Leftrightarrow 3\left( {m - 3} \right){x^2} + 4\left( {{m^2} - m - 1} \right)x + m + 4 = 0\).
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục \(Oy\) thì phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {m - 3} \right) \ne 0\\3\left( {m - 3} \right).\left( {m + 4} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < m < 3\).
Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m > 0\) nên \(m = \left\{ {1;2} \right\}\).
Vậy \(S\) có \(2\) phần tử.
Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\) có hai điểm cực trị có hoành độ \({x_1},{x_2}\)sao cho \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
Ta có hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\) có đạo hàm là \(y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)\)
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 3{m^2} + 1 = 0\) (1)
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình (1) có hai nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta = {m^2} + 3{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{1}{2}\\m < - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó hai điểm cực trị \({x_1},\,\,{x_2}\) của hàm số chính là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Áp dụng định lý Viét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = 1 - 3{m^2}\end{array} \right.\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 1 - 3{m^2} + 2m = 1\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 4} \right){x^2}\)\( + \left( {{m^2} + 8m} \right)x + {m^2} - 3m + 4\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị?
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là \(2m + 1\) trong đó \(m\) là số điểm cực trị dương của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Ta có hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị.
\( \Rightarrow 2m + 1 = 3\)
\( \Rightarrow m = 1\).
Lúc này, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) Tìm \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương.
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m + 4} \right)x + {m^2} + 8m\).
Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), ta có:
\(\Delta ' = {m^2} + 8m + 16 - {m^2} - 8m = 16 > 0\)\(\forall m \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - m - 4 + \sqrt {16} = - m\\{x_2} = - m - 4 - \sqrt {16} = - m - 8\end{array} \right.\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương thì \(\left\{ \begin{array}{l} - m - 8 \le 0\\ - m > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 8\\m < 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow - 8 \le m < 0\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\).
Nên ta nhận \(m \in \left\{ { - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\).
Vậy có 8 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án C.
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ có cực đại và cực tiểu.
TXĐ: $D = R$
TH1: $m = 0 \to y = x - 1.$
Hàm số không có cực trị.
TH2: $m \ne 0$.
Ta có: $y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + x - 1$ $ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 1.$
Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình $y' = 0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt
$ \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m < 0 \hfill \\ m > 1 \hfill \\\end{gathered} \right..$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số $y = - {x^4} + 2m{x^2}$ có $3$ điểm cực trị ?
$y = - {x^4} + 2m{x^2}$ $ \Rightarrow y' = - 4{x^3} + 4mx = - 4x\left( {{x^2} - m} \right)$ $ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\{x^2} = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt $\ne 0$ hay $m > 0$
Cho hàm số $y = 2{x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} - 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có $1$ điểm cực trị là:
$y' = 8{x^3} - 2\left( {m + 1} \right)x = 2x\left[ {4{x^2} - \left( {m + 1} \right)} \right]$ $ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\4{x^2} = m + 1{\text{ }}(1) \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Ta có yêu cầu bài toán để hàm số có một điểm cực trị $ \Leftrightarrow y' = 0$ có $1$ nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow (1)$ có $1$ nghiệm $x = 0$ hoặc $(1)$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow m + 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow m \leqslant - 1$
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
TXĐ $D = \mathbb{R}$
$y' = - {x^2} + \dfrac{2}{3}mx \Rightarrow y'' = - 2x + \dfrac{2}{3}m$
Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 2$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y'(2) = 0 \hfill \\ y''\left( 2 \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {2^2} + \dfrac{2}{3}m.2 = 0 \hfill \\ - 2.2 + \dfrac{2}{3}m. < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 + \dfrac{4}{3}m = 0 \hfill \\- 4 + \dfrac{2}{3}m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\m < 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3$
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - 2m{x^2} + {m^2}x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.
TXĐ: $D = R$
Ta có: $y' = 3{x^2} - 4mx + {m^2} \Rightarrow y'' = 6x - 4m$
Để $x = 1$ là điểm cực tiểu của hàm số thì:
$\left\{ \begin{gathered}y'\left( 1 \right) = 0 \hfill \\y''\left( 1 \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - 4m + 3 = 0 \hfill \\ 6 - 4m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}m = 1;m = 3 \hfill \\m < \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 1.$
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:
$y = {x^3} - \left( {3m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 3m + 2} \right)x + 3$
$y' = 3{x^2} - \left( {6m + 2} \right)x + {m^2} + 3m + 2$
Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số $y$ nằm về hai phía của trục tung thì ${x_1}{x_2} < 0,$ với ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0.$
$ \Leftrightarrow 3({m^2} + 3m + 2) < 0 \Leftrightarrow {m^2} + 3m + 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < - 1$
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
\(y' = {x^2} - 2mx + 2m - 4\)
Để hàm số có cực đại cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0,\forall m \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0,\forall m\)
Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 4\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {(2m)^2} - 3.(2m - 4) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3mx + 1.$ Tìm $m$ để hàm số có $2$ điểm cực trị nhỏ hơn $2$
Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x + 3m$
Hàm số có $2$ điểm cực trị nhỏ hơn $2$ $ \Leftrightarrow y'$ có $2$ nghiệm phân biệt ${x_1},\,{x_2}$ thoả mãn ${x_1} < {x_2} < 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\Delta ' > 0 \hfill \\a.f(2) > 0 \hfill \\\dfrac{S}{2} < 2 \hfill \\\end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}9 - 9m > 0 \hfill \\ 3.({3.2^2} - 6.2 + 3m) > 0 \hfill \\ 1 < 2(\forall m) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow 0 < m < 1$
Tìm $m$ để $({C_m})$ : $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2$ có $3$ điểm cực trị là $3$ đỉnh của một tam giác vuông cân.
Ta có: $y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị $ \Leftrightarrow $ pt $y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $$m > 0$$ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \hfill \\x = \sqrt m \hfill \\ x = - \sqrt m \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị là: $A(0;2);\,\,\,B( - \sqrt m ;2 - {m^2});\,\,C(\sqrt m ;2 - {m^2})$
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)\)
Dễ thấy $∆ ABC$ cân tại $A,$ để $∆ ABC$ vuông cân thì nó phải vuông tại $A$
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - m + {m^4} = 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\{m^3} - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện $m > 0$ ta có $m = 1$
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 3m + 2.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \,\, (1)\end{array} \right.\end{array}\)
Hàm số \(y=f(x)\) có 3 cực trị
\( \Leftrightarrow y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow (1){\rm{\;}}\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\( \Leftrightarrow \) \(m > 0\).
Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là \(A(0;a);B(-\sqrt m;b);C(\sqrt m;c)\). Khi đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ + )x = 0 \Rightarrow A\left( {0;3m + 2} \right)}\\
{ + )x = - \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y = {{\left( { - \sqrt m } \right)}^4} - 2m.{{\left( { - \sqrt m } \right)}^2} + 3m + 2}\\
{ = {m^2} - 2{m^2} + 3m + 2}\\
{ = {\rm{\;}} - {m^2} + 3m + 2 \Rightarrow B\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}\\
{ + )x = \sqrt m {\rm{\;}} \Rightarrow y=- {m^2} + 3m + 2\\ \Rightarrow C\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 3m + 2} \right)}
\end{array}\)
Ta luôn có $AB=AC$ nên tam giác $ABC$ đều
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AB = BC \Leftrightarrow A{B^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - \sqrt m } \right)^2} + {\left( { - {m^2}} \right)^2} = {\left( {2\sqrt m } \right)^2} + {0^2}\\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m\\ \Leftrightarrow {m^4} - 3m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \sqrt[3]{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\)
Cho hàm số $y = {x^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} + m + 1.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $4\sqrt 2 $ là
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} + 4\left( {1 - {m^2}} \right)x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} + 1 - {m^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {{m^2} - 1} \end{array} \right.\end{array}\)
Điều kiện để hàm số có $3$ cực trị: \({m^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;m + 1} \right)\\x = - \sqrt {{m^2} - 1} \Rightarrow y = {\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)^4} + 2\left( {1 - {m^2}} \right){\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} } \right)^2} + m + 1\\ \Rightarrow y = {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} - 2{\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + m + 1 = - {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + m + 1\\ \Rightarrow B\left( { - \sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)\\x = \sqrt {{m^2} - 1} \Rightarrow C\left( {\sqrt {{m^2} - 1} ; - {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} + m + 1} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABC}} = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {HC} \right| = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {{y_A} - {y_C}} \right|.\left| {{x_C}} \right| = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {m + 1 + {{\left( {{m^2} - 1} \right)}^2} - m - 1} \right|.\sqrt {{m^2} - 1} = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^2}.\sqrt {{m^2} - 1} = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 1} \right)^5} = 32 \Leftrightarrow {m^2} - 1 = 2 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \end{array}\)
\(m = \pm \sqrt 3 \) thỏa mãn điều kiện\(\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\)
Cho hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} + m.$ Tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc ${120^o}$ là:
\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4mx\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt m \end{array} \right.\end{array}\)
Điều kiện để hàm số có $3$ cực trị: \(m > 0\)
\(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow A\left( {0;\,{m^2} + m} \right)\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = {\left( { - \sqrt m } \right)^4} - 2m{\left( { - \sqrt m } \right)^2} + {m^2} + m \\= {m^2} - 2{m^2} + {m^2} + m = m \Rightarrow B\left( { - \sqrt m ;\,m} \right)\\x = \sqrt m \Rightarrow C\left( {\sqrt m ;\,m} \right)\end{array}\)
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)\\
\widehat {BAC} = {120^0}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \cos {120^0}\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - m + {m^4}}}{{\sqrt {m + {m^4}} .\sqrt {m + {m^4}} }} = - \dfrac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2\left( {{m^4} - m} \right) = - \left( {m + {m^4}} \right)\\
\Leftrightarrow 3{m^4} - m = 0\\
\Leftrightarrow m\left( {3{m^3} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( {loai} \right)\\
m = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}
\end{array} \right.
\end{array}$
Hãy lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$
Có: $y\left( x \right) = {x^3} + 3m{x^2} - 3x$ $ \Rightarrow y'\left( x \right) = 3{x^2} + 6mx - 3$
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $2$ cực trị của $(C)$ nên $\left( {{x_o};{y_o}} \right) \in d$ thỏa mãn:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y'\left( {{x_o}} \right) = 0\\{y_o} = x_o^3 + 3mx_0^2 - 3{x_o}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_o^2 + 6m{x_o} - 3 = 0\\{y_o} = {x_o}\left( {x_o^2 + 2m{x_o}} \right) - 3{x_0} + mx_0^2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_o^2 + 2m{x_o} = 1\\{y_o} = - 2{x_o} + mx_o^2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_o^2 = - 2m{x_o} + 1\\{y_o} = - 2{x_o} + m\left( { - 2m{x_o} + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_o} = - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x_o} + m\end{array}\)
Cho hàm số $y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx.$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A, B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $d:\,x - y - 9 = 0$
$y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m$
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A,B\) \( \Leftrightarrow \) phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta ' = 9{\left( {m + 1} \right)^2} - 36m > 0\) \( \Leftrightarrow 9{m^2} - 18m + 9 > 0\) \( \Leftrightarrow 9{\left( {m - 1} \right)^2} > 0\) \( \Leftrightarrow m \ne 1\)
Khi đó,
$y = y'.\left( \dfrac{1}{3}x -\dfrac{{m + 1}}{6} \right) + \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)$
Đường thẳng \(AB:\) \(y = \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right]x + m\left( {m + 1} \right)\) có hệ số góc $k={4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}}$
Đường thẳng \(d:\,y = x - 9\) có hệ số góc $k=1$
\(\begin{array}{l}AB \bot d\\ \Leftrightarrow \left[ {4m - {{\left( {m + 1} \right)}^2}} \right].1 = - 1\\ \Leftrightarrow 4m - {m^2} - 2m - 1 = - 1\\ \Leftrightarrow - {m^2} + 2m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)
