Câu hỏi:
1 năm trước
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {4{m^2} - 1} \right)x + 3\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) là \(2m + 1\) trong đó \(m\) là số điểm cực trị dương của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Ta có hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị.
\( \Rightarrow 2m + 1 = 3\)
\( \Rightarrow m = 1\).
Lúc này, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) Tìm \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương.
Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} + 4mx + 4{m^2} - 1\).
Xét phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), ta có:
\(\Delta ' = 4{m^2} - 4{m^2} + 1 = 1 > 0,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\).
\( \Rightarrow \)Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt là: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 2m + 1\\{x_2} = - 2m - 1\end{array} \right.\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 2m - 1 \le 0\\ - 2m + 1 > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - \dfrac{1}{2}\\m < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\).
Nên \(m \in \left\{ 0 \right\}\).
Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta chọn phương án B.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tìm số cực trị dương của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Bước 2: Tìm hàm \(f'\left( x \right)\).
Bước 3: Xác định các điểm cực trị của hàm \(y = f\left( x \right)\) theo \(m\).
Bước 4: Lập luận tìm \(m\) và kết luận.
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
