Hàm số $y = m{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 2m - 1$ chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi

+) Với \(m = 0\) thì ta có hàm số \(y = 3{x^2} - 1\) có \(3 > 0\) nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên\( \Rightarrow \) hàm số có điểm cực tiểu \(x = 0\).

+) Với \(m \ne 0\) ta có hàm trùng phương \(y = m{x^4} + \left( {m + 3} \right){x^2} + 2m - 1\)

\( \Rightarrow y' = 4m{x^3} + 2\left( {m + 3} \right)x = x\left( {4m{x^2} + 2m + 6} \right)\), \(y'' = 12m{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)\).

Xét phương trình \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {4m{x^2} + 2m + 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = \dfrac{{ - m - 3}}{{2m}}{\mkern 1mu} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Nếu hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình \(y' = 0\) có nghiệm \(x = 0\) duy nhất .

Hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - m - 3}}{{2m}} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 3}}{{2m}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le {\rm{\;}} - 3}\\{m > 0}\end{array}} \right.\)

Với \(m > 0\) thì phương trình \(y' = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) và \(y''\left( 0 \right) = 2\left( {m + 3} \right) > 0\), do đó \(x = 0\) là điểm cực tiểu của hàm số (loại).

Với \(m <  - 3\) thì \(y''\left( 0 \right) = 2\left( {m + 3} \right) < 0\), do đó \(x = 0\) là điểm cực đại (nhận).

Với \(m =  - 3\) thì \(y' =  - 12{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm \(x = 0\).

Do đó \(x = 0\) là điểm cực đại của hàm số (nhận).

Vậy \(m \le  - 3\).