Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 7;7} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 3m{x^2} - 4} \right|\) có đúng ba điểm cực trị \(A,B,C\) và diện tích tam giác \(ABC\) lớn hơn 4.

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 3m{x^2} - 4,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6mx,\,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{3m}}{2}\end{array} \right.\)

+) TH1: \(m \le 0\):

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)  có duy nhất 1 điểm cực trị là \(M\left( {0; - 4} \right)\) (cực tiểu)

Khi đó, đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị là \(A\left( {0; 4} \right)\), \(B\left( {{x_1};0} \right),\,\,C\left( {{x_2};0} \right),\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) (B, C chính là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành)

Giải phương trình: \({x^4} - 3m{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{3m + \sqrt {9{m^2} + 16} }}{2} \)

$\Leftrightarrow {x_{1,2}} = \dfrac{{ \pm \sqrt {3m + \sqrt {9{m^2} + 16} } }}{{\sqrt 2 }} $ $\Rightarrow {x_2} - {x_1} = \sqrt 2 .\sqrt {3m + \sqrt {9{m^2} + 16} } $

Diện tích tam giác \(ABC\) là:

$\dfrac{1}{2}.4.\sqrt 2 .\sqrt {3m + \sqrt {9{m^2} + 16} } > 4 $ $\Leftrightarrow \sqrt {3m + \sqrt {9{m^2} + 16} } > \sqrt 2 $

$ \Leftrightarrow 3m + \sqrt {9{m^2} + 16} > 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {9{m^2} + 16} > 2 - 3m$

\( \Leftrightarrow 9{m^2} + 16 > {\left( {2 - 3m} \right)^2}\)  (do \(m \le 0\))

\( \Leftrightarrow 9{m^2} + 16 > 4 - 12m + 9{m^2} \) \(\Leftrightarrow m >  - 1\,\, \Rightarrow  - 1 < m \le 0\)

+) TH2: \(m > 0\)

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)  có 3 điểm cực trị là \(M\left( {0; -4} \right)\) (cực tiểu),  \(B\left( { - \sqrt {\dfrac{{3m}}{2}} ;{y_0}} \right),\,\,C\left( {\sqrt {\dfrac{{3m}}{2}} ;{y_0}} \right)\)

Với \({y_0} = f\left( {\sqrt {\dfrac{{3m}}{2}} } \right) = \dfrac{{9{m^2}}}{4} - 3m.\dfrac{{3m}}{2} - 4 =  - \dfrac{{9{m^2}}}{4} - 4 < 0,\forall m\)

Khi đó, đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\)  có đúng 5 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Loại.

Vậy, \( - 1 < m \le 0\).

Mà \(m \in \left( { - 7;7} \right),\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ 0 \right\}\): 1 giá trị.