Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - m + 7} \right)x + m - 5\) có hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(\sqrt {74} \).

Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + {m^2} - m + 7\).

Điều kiện bài toán tương đương tìm \(m\) để phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 74\).

+) Phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m + 7} \right) > 0\\2\left( {2m - 1} \right) > 0\\{m^2} - m + 7 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} - 3m - 6 > 0\\2m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 74 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 74\\ \Rightarrow 4{\left( {2m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - m + 7} \right) = 74\\ \Leftrightarrow 4\left( {4{m^2} - 4m + 1} \right) - 2{m^2} + 2m - 14 - 74 = 0\\ \Leftrightarrow 14{m^2} - 14m - 84 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m =  - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 3\).