Bài tập ôn tập chương 2: Hàm số và đồ thị

Gọi số giấy vụn thu được của các lớp \(7A{ _1};\,\,7{A_2};\,\,7{A_3}\)  lần lượt là  \(x;\,\,y;\,\,z\,\,\,\left( {kg} \right),\,\,\,\left( {x,\,\,y,\,\,z > 0} \right).\)

Theo bài ra, ta có: \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{5}}}\) và $x + y + z = 370.\;$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:                                                                 

\(\begin{array}{l}\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{5}}} = \dfrac{{x + y + z}}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{5}}} = \dfrac{{370}}{{\dfrac{{15 + 10 + 12}}{{60}}}} = \dfrac{{370}}{{\dfrac{{37}}{{60}}}} = 600\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 600.\dfrac{1}{4} = 150\,\,kg\\y = 600.\dfrac{1}{6} = 100\,\,kg\\z = 600.\dfrac{1}{5} = 120\,\,kg\end{array} \right..\end{array}\)                                                                        

Vậy  số giấy vụn thu được của  lớp $7{A_2}$ là :  $100\left( {kg} \right)$

Ta có :  $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hệ số tỉ lệ là  $2$   nên \(y = \dfrac{2}{x}\)  

$z$ tỉ lệ nghịch với $y$ theo hệ số tỉ lệ là $3$ nên \(z = \dfrac{3}{y}\)

Do đó :  \(z = \dfrac{3}{y} = 3:\dfrac{2}{x} = \dfrac{{3x}}{2}.\)                                                    

Vậy  $z$ và $x$ tỉ lệ thuận với nhau và hệ số tỉ lệ là \(\dfrac{3}{2}.\)

\(x\)  và \(y\)  là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên \(\dfrac{{{y_1}}}{{{x_1}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{x_2}}}\)
Do đó: \(\dfrac{{{y_1}}}{{{y_2}}} = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{2{y_1}}}{{2{y_2}}} = \dfrac{{3{x_1}}}{{3{x_2}}} = \dfrac{{2{y_1} + 3{x_1}}}{{2{y_2} + 3{x_2}}}\)  (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Hay \(\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{x_1}}}{{ - 6}} = \dfrac{{2{y_1} + 3{x_1}}}{{2.3 + 3.\left( { - 6} \right)}} = \dfrac{{20}}{{ - 12}} = \dfrac{{ - 5}}{3}\)  (vì \(2{y_1} + 3{x_1} = 20\) )

Từ đó \({y_1} =  - 5;{x_1} = \left( { - 6} \right).\left( {\dfrac{{ - 5}}{3}} \right) = 10\)

Vậy \({x_1} = 10;{y_1} =  - 5.\)

Ba số $x,y,z$ tỉ lệ thuận với $3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}7$ nên theo tính chất về tỉ lệ thuận ta có: 
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}$
Theo bài ra ta có \(z - y = 10\)  
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}$\( = \dfrac{{z - y}}{{7 - 5}} = \dfrac{{10}}{2} = 5\)

Nên \(x = 5.3 = 15\)

\(y = 5.5 = 25\)

\(z = 5.7 = 35\)

Vậy \(x = 15;y = 25;z = 35.\)

Gọi ba phần cần tìm là $x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z.\; (x;y;z>0)$
Vì $x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z$ tỉ lệ nghịch với $\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{4};2$ nên ta có: \(\dfrac{2}{3}x = \dfrac{5}{4}y = 2z\)  

Do đó \(\dfrac{{2x}}{3} = \dfrac{{5y}}{4} = \dfrac{{2z}}{1} \Leftrightarrow \dfrac{{2x}}{{3.10}} = \dfrac{{5y}}{{4.10}} = \dfrac{{2z}}{{1.10}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{5}\)

Mà tổng ba phần là \(1316\) nên ta có \(x + y + z = 1316\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau

\(\dfrac{x}{{15}} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x + y + z}}{{15 + 8 + 5}} = \dfrac{{1316}}{{28}} = 47\)

Suy ra \(x = 15.47 = 705;y = 8.47 = 376;z = 235.\)

Vậy phần lớn nhất là \(705.\)

Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\) ta được

\(f\left( 2 \right) =  - 2.2 + 2 =  - 4 + 2 =  - 2\)

Thay \(x = 4\) vào \(g\left( x \right)\) ta được

\(g\left( 4 \right) = 3.4 + 1 = 13\)

Do đó

$P = 2f\left( 2 \right) - 3g\left( 4 \right) = 2.( - 2) - 3.13 =  - 4 - 39 =  - 43$

Vậy \(P =  - 43\) .

Do $A\left( { - \dfrac{1}{2};a} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ nên \(x =  - \dfrac{1}{2};\,\,y = a\). Thay \(x =  - \dfrac{1}{2};\,\,y = a\) vào $f\left( x \right)$ ta được: \(a = -2.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)+ 2 = 3\).

Vậy $A\left( { - \dfrac{1}{2};3} \right)$ và \(a = 3.\)

Do $B\left( {b; - 6} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ nên \(x = b;\,\,y =  - 6\). Thay \(x = b;\,\,y =  - 6\) vào $g\left( x \right)$ ta có:  \( - 6 = 3.b + 1 \Leftrightarrow 3b =  - 7 \Leftrightarrow b = \dfrac{{ - 7}}{3}\)

Vậy $B\left( {\dfrac{{ - 7}}{3}; - 6} \right)$

 Do $N\left( {{x_0};2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số \(f(x)\) nên \(x = {x_0};\,\,y = 2\).

Thay \(x = {x_0};\,\,y = 2\) vào \(f(x)\) ta được: \(2 =  - 2.{x_0} + 2 \Leftrightarrow {x_0} = 0\)

Do $P\left( {3;{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ nên \(x = 3,\,y = {y_0}\).

Thay \(x = 3,\,y = {y_0}\) vào $g\left( x \right)$ ta được \({y_0} = 3.3 + 1 = 10\).

Vậy $M\left( {0\,\,;\,10} \right)$

Điểm $A( - 3;2)$ thuộc đồ thị hàm số $y = ax + b$ nên ta có: $2 =  - 3a + b \Leftrightarrow b = 2 + 3a$  (1) 
Điểm $B(1;4)$  thuộc đồ thị hàm số $y = ax + b$ nên ta có \(4 = a.1 + b \Leftrightarrow b = 4 - a\)  (2) 
Từ (1) và (2) ta có:
$2 + 3a = 4 - a \Leftrightarrow 3a + a = 4 - 2 \Leftrightarrow 4a = 2 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}\;$

Với \(a = \dfrac{1}{2}\)  thì \(b = 4 - a = 4 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\)  
Vậy \(a = \dfrac{1}{2};b = \dfrac{7}{2}.\)

Hoành độ $x$ của giao điểm phải thỏa mãn điều kiện: 
 $9x = \dfrac{1}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)$

Hay \(9x.x = 1 \Leftrightarrow 9{x^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{9}\) \( \Rightarrow x =  \pm \dfrac{1}{3}\)

Với \(x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow y = 9x = 9.\dfrac{1}{3} = 3\)  nên tọa độ giao điểm là \(\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\)

Với \(x =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow y = 9x = 9.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) =  - 3\)  nên tọa độ giao điểm là \(\left( { - \dfrac{1}{3}; - 3} \right)\)

Vậy có hai giao điểm là: \(\left( {\dfrac{1}{3};3} \right)\) ; \(\left( { - \dfrac{1}{3}; - 3} \right)\)

Ta có: \(\dfrac{x}{y} = 4 \Rightarrow x = 4y.\)

Thay vào biểu thức \(xy = 9\) ta được: \(4y.y = 9 \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{2}\\y =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)

+) Với \(y = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = 4.\dfrac{3}{2} = 6\,\,\left( {tm} \right).\)

+) Với \(y =  - \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = 4.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) =  - 6\,\,\,\left( {ktm\,\, do\, x \ge 0} \right)\)

Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {6;\,\,\dfrac{3}{2}} \right)\).