Bài tập ôn tập chương 2: Hàm số và đồ thị

$f(0) = \dfrac{1}{3}{.0^2} - 1 =  - 1$, $f(3) = \dfrac{1}{3}{.3^2} - 1 = 2$ , $f( - 1) = \dfrac{1}{3}.{( - 1)^2} - 1 = \dfrac{{ - 2}}{3}$

Đại lượng $y$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $x$ theo hệ số tỉ lệ $a{\rm{ }}(a \ne 0)$ thì ta có $x.y=a$ nên đại lượng $x$ tỉ lệ nghịch với đại lượng $y$ theo hệ số tỉ lệ là $a.$

Do $\dfrac{{ - 2}}{3} < 0$ nên để $y = \dfrac{{ - 2}}{3}x$ nhận giá trị dương thì $x < 0$.

Nếu $M$ có hoành độ là $- 1$  thì tung độ của điểm $M$ là $y =  - 3.\left( { - 1} \right) = 3.$

Nếu $N$ có tung độ là $2$  thì hoành độ của điểm $N$ thỏa mãn $2 =  - 3.x \Rightarrow x =  - \dfrac{2}{3}$

Do $M,{\rm{ }}N$ thuộc đồ thị hàm số $y =  - 3x$ nên đường thẳng $MN$ đi qua gốc tọa độ $O$

Do điểm $A\left( {a; - 0,2{\rm{ }}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 4x$ nên ta có :$- 0,2 = 4.a \Rightarrow a =  - 0,2:4 =  - 0,05$.

Thay các đáp án ta thấy $f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) =  - 2.\dfrac{1}{2} =  - 1 \ne 2$. Do đó $f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 2$ là sai.

Thay $x = 5$ vào $y = \dfrac{{50}}{x}$ ta được: $y = \dfrac{{50}}{5} = 10$. Vậy $y = 10.$

Số mét dây thép và cân nặng của dây thép là hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Gọi cân nặng của $100m$  dây thép là $x\,\,\,\left( {gam} \right),\,\,\,\left( {x > 75} \right).$

Khi đó áp dụng tính chất của tỉ lệ thuận ta có:

$\dfrac{6}{{75}} = \dfrac{{100}}{x} \Rightarrow x = \dfrac{{100.75}}{6} = 1250\,\,\,\left( {gam} \right).$

Vậy để bán 100m dây thép thì người bán cần phải cân cho khách hàng $1250$ gam dây thép.

 Do $N\left( {{x_0};2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $f(x)$ nên $x = {x_0};\,\,y = 2$.

Thay $x = {x_0};\,\,y = 2$ vào $f(x)$ ta được: $2 =  - 2.{x_0} + 2 \Leftrightarrow {x_0} = 0$

Do $P\left( {3;{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ nên $x = 3,\,y = {y_0}$.

Thay $x = 3,\,y = {y_0}$ vào $g\left( x \right)$ ta được ${y_0} = 3.3 + 1 = 10$.

Vậy $M\left( {0\,\,;\,10} \right)$

Do $B\left( {b; - 6} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ nên $x = b;\,\,y =  - 6$. Thay $x = b;\,\,y =  - 6$ vào $g\left( x \right)$ ta có:  $- 6 = 3.b + 1 \Leftrightarrow 3b =  - 7 \Leftrightarrow b = \dfrac{{ - 7}}{3}$

Vậy $B\left( {\dfrac{{ - 7}}{3}; - 6} \right)$

Do $A\left( { - \dfrac{1}{2};a} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ nên $x =  - \dfrac{1}{2};\,\,y = a$. Thay $x =  - \dfrac{1}{2};\,\,y = a$ vào $f\left( x \right)$ ta được: $a = -2.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)+ 2 = 3$.

Vậy $A\left( { - \dfrac{1}{2};3} \right)$ và $a = 3.$

Thay $x = 2$ vào $f\left( x \right)$ ta được

$f\left( 2 \right) =  - 2.2 + 2 =  - 4 + 2 =  - 2$

Thay $x = 4$ vào $g\left( x \right)$ ta được

$g\left( 4 \right) = 3.4 + 1 = 13$

Do đó

$P = 2f\left( 2 \right) - 3g\left( 4 \right) = 2.( - 2) - 3.13 =  - 4 - 39 =  - 43$

Vậy $P =  - 43$ .

Thay $x = 2$ vào $f\left( x \right)$ ta được

$f\left( 2 \right) =  - 2.2 + 2 =  - 4 + 2 =  - 2$

Thay $x = 4$ vào $g\left( x \right)$ ta được

$g\left( 4 \right) = 3.4 + 1 = 13$

Do đó

$P = 2f\left( 2 \right) - 3g\left( 4 \right) = 2.( - 2) - 3.13 =  - 4 - 39 =  - 43$

Vậy $P =  - 43$ .

Do $x$  và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: $y = kx \Leftrightarrow k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{3}{{ - 2}} =  - \dfrac{3}{2}$

Thay tọa độ điểm $M\left( { - 2;3} \right)$ vào hàm số $y = x + 3$ ta được: $3 =  - 2 + 3 \Rightarrow 3 = 1$ (vô lý). Do đó M không thuộc đồ thị hàm số  $y =  x + 3$

Do $M\left( {1; - 2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = ax$ nên :

$- 2 = 1.a \Leftrightarrow a =  - 2 \Rightarrow y =  - 2x$

Gọi số người tổ I, II, III lần lượt là $x,y,z$  (người, $x,y,z \in {N^*}$ ) 
Theo bài ta có: $x + y + z = 37$
Năng suất lao động như nhau nên số công nhân và thời gian làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 
Do đó: 

$12x = 10y = 8z \Leftrightarrow \dfrac{{12x}}{{120}} = \dfrac{{10y}}{{120}} = \dfrac{{8z}}{{120}}$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{{10}} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\dfrac{x}{{10}} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{15}} = \dfrac{{x + y + z}}{{10 + 12 + 15}} = \dfrac{{37}}{{37}} = 1$
Suy ra $x = 10;y = 12;z = 15$

Vậy số công nhân của tổ II là: $12$  (công nhân) 

Người thứ nhất đánh được số trang là: $16.3 = 48$ (trang) 
Người thứ hai đánh được số trang là: $12.5 = 60$ (trang) 
Người thứ ba đánh được số trang là: $14.4 = 56$ (trang) 
Gọi $x,y,z\,\,\left( {x;y;z > 0} \right)$ lần lượt là số tiền tính theo USD  mà người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba nhận được.
Theo bài ta có: $\dfrac{x}{{48}} = \dfrac{y}{{60}} = \dfrac{z}{{56}}$  và $x + y + z = 41$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: 
$\dfrac{x}{{48}} = \dfrac{y}{{60}} = \dfrac{z}{{56}} = \dfrac{{x + y + z}}{{48 + 60 + 56}} = \dfrac{{41}}{{164}} = \dfrac{1}{4}$

Suy ra $x = \dfrac{1}{4}.48 = 12;y = \dfrac{1}{4}.60 = 15;z = \dfrac{1}{4}.56 = 14$

Suy ra người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba đã nhận được số tiền lần lượt là: $12,{\rm{ }}15,{\rm{ }}14$ (USD) 

Người thứ ba nhận số tiền là $14$ USD.

Ta có: $y = 2\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\ - 2x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.$

Với $x \ge 0$ thì $y=2x$ có đồ thị là tia OM với $M(1;{\rm{ }}2)$

Với $x<0$ thì $y=-2x$ có đồ thị là tia ON với $N\left( { - 1;{\rm{ }}2} \right).$

Vậy đồ thị hàm số $y = 2\left| x \right|$ gồm hai tia $OM$ thuộc góc phần tư thứ nhất và $ON$ thuộc góc phần tư thứ hai.

Hay đồ thị hàm số $y = 2\left| x \right|$ gồm hai tia chung gốc $O$ , thuộc góc phần tư thứ $\left( I \right)$ và thứ $\left( {II} \right)$

Gọi số máy cày của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba lần lượt là  $x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z$ ($x,\,y,\,z\,\, \in \,\,{N^*}$).

Cùng cày thửa ruộng như nhau và năng suất các máy như nhau thì số máy cày và thời gian cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó $x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z$ tỉ lệ nghịch với $2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4$ và $x-z = 3.$

Ta có: $2x = 3y = 4z \Rightarrow \dfrac{2x}{12} = \dfrac{3y}{12} = \dfrac{4z}{12}$$\Rightarrow \dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x - z}}{{6 - 3}} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Do đó:

$\begin{array}{l}\dfrac{x}{6} = 1 \Rightarrow x = 6\\\dfrac{y}{4} = 1 \Rightarrow y = 4\\\dfrac{z}{3} = 1 \Rightarrow z = 3\end{array}$

Vậy số máy cày của đội thứ nhât, đội thứ hai và đội thứ ba thứ tự là $6,{\rm{ }}4,{\rm{ }}3$ máy.