Lũy thừa (số mũ vô tỉ)

Để biểu thức ${\left( {\sqrt x  - 1} \right)^{\dfrac{1}{2}}}$ có nghĩa thì $\sqrt x  - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Biểu thức ${\left( {{x^2} - 1} \right)^{\sqrt {\dfrac{1}{3}} }}$ có nghĩa $\Leftrightarrow {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.$

Biểu thức ${\left( {{x^2} + x + 1} \right)^{ - \dfrac{{2\pi }}{3}}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow {x^2} + x + 1 > 0 \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}$

${\left( {a + 2} \right)^\pi }$có nghĩa khi $a + 2 > 0 \Leftrightarrow a >  - 2$. 

Đáp án A: Số mũ $- 3 \in {\mathbb{Z}^ - }$ và $1 - \sqrt 2  \ne 0$ nên biểu thức có nghĩa.

Đáp án B: Biểu thức ${\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^0}$ xác định vì $2 - \sqrt 2  \ne 0$.

Đáp án C: Vì $3 - 2\sqrt 2  \notin \mathbb{Z}$ và $3 - 2\sqrt 2  > 0$ nên biểu thức ${\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{3 - 2\sqrt 2 }}$ có nghĩa.

Đáp án D: Vì $\pi  \notin \mathbb{Z}$ và $- \dfrac{3}{2} < 0$ nên biểu thức ${\left( { - \dfrac{3}{2}} \right)^\pi }$ không có nghĩa.

Vì $- \dfrac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$ nên ${\left( { - 3} \right)^{ - \dfrac{1}{3}}}$ không có nghĩa.

Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của $a$

Ta có: ${3^{x + y}} = {3^x}{.3^y}$ nên A sai.

${2^{\dfrac{x}{y}}} \ne {2^x} - {2^y}$ nên B sai.

${\pi ^{xy}} = {\left( {{\pi ^x}} \right)^y}$ nên C đúng.

${\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)^x} = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{{2^x}}} \ne \dfrac{{{\pi ^x}}}{{{2^y}}}$ nên D sai.

Đáp án A sai vì $a,b$ chưa chắc đã lớn hơn $0$.

Các đáp án B, C, D đều đúng.

Đáp án A sai.

Đáp án B: ${3^{\sqrt {xy} }} = {3^{\sqrt x .\sqrt y }} = {\left( {{3^{\sqrt x }}} \right)^{\sqrt y }}$ nên B sai.

Đáp án C: ${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{x - y}} = {\left( {{2^{ - 1}}} \right)^{x - y}} = {2^{y - x}}$ nên C đúng.

Đáp án D: ${\left( {x - y} \right)^3} =  - {\left( {y - x} \right)^3}$ nên D sai.

Do $a > 0,b < 0$ nên  $\sqrt[4]{{{a^4}{b^4}}} = \sqrt[4]{{{{(ab)}^4}}} = \left| {ab} \right| =  - ab$ nên A sai.

Ngoài ra $\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^3}}} = ab$ nên B đúng.

$\sqrt {{a^2}{b^2}}  = \left| {ab} \right|$ và $\sqrt {{a^2}{b^4}}  = a{b^2}$ nên C và D đúng.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{a^{\sqrt 3  + 1}}.{a^{2 - \sqrt 3 }} = {a^{\sqrt 3  + 1 + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)}} = {a^3}\\{\left( {{a^{\sqrt 2  - 2}}} \right)^{\sqrt 2  + 2}} = {a^{\left( {\sqrt 2  - 2} \right)\left( {\sqrt 2  + 2} \right)}} = {a^{2 - 4}} = {a^{ - 2}}\end{array} \right.$$\Rightarrow P = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^{3 - \left( { - 2} \right)}} = {a^5}.$  

Ta có:

$E = {3^{\sqrt 2  - 1}}{.9^{\sqrt 2 }}{.27^{1 - \sqrt 2 }}$$= {3^{\sqrt 2  - 1}}{.3^{2\sqrt 2 }}{.3^{3\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}} = {3^{\sqrt 2  - 1 + 2\sqrt 2  + 3 - 3\sqrt 2 }} = {3^2} = 9$

$P = \dfrac{{{a^{\sqrt 7  + 1}}.{a^{2 - \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2  - 2}}} \right)}^{\sqrt 2  + 2}}}} = \dfrac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}$.

Ta có: $P = \dfrac{{b\sqrt[3]{{{a^4}}} + a\sqrt[3]{{{b^4}}}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \dfrac{{ab\sqrt[3]{a} + ab\sqrt[3]{b}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = \dfrac{{ab\left( {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}} = ab$.

Vì $\pi  \approx 3,14 > 0$ nên ${\pi ^\alpha } > {\pi ^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta .$

Do $0 < \dfrac{1}{9} < 1$ nên ${\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{1}{9}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n$.

Do $0 < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ nên ${\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n} \Leftrightarrow m < n$.

Do $\sqrt 5  - 1 > 1$ nên ${\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m < n$.

Do $0 < \sqrt 2  - 1 < 1$ nên ${\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^m} < {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^n} \Leftrightarrow m > n$.