Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1),B( - 2;1;3),C(2; - 1;1),D(0;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ sao cho $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ là:
Vì $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ nên ta có $(P)//CD$
Ta có
\(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 1;2);\overrightarrow {CD} = ( - 2;4;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 8; - 4; - 14)\)
Vì $(P)//CD$ và $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]\). Chọn $\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)$
$ \Rightarrow (P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow (P):4(x - 1) + 2(y - 2) + 7(z - 1) = 0 $
$\Leftrightarrow 4x + 2y + 7z - 15 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 1;3; - 4} \right)\) cắt trục \(Ox\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\):
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;0} \right)\).
Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm. Ta có \(d \cap Ox = B\left( {b;0;0} \right)\).
Suy ra \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {AB} = \left( {b + 1; - 3;4} \right)\).
Do \(d\parallel \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow \left( {b + 1} \right).1 + \left( { - 3} \right).2 + 4.0 = 0 \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B\left( {5;0;0} \right).\)
Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) nên có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 3;3; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm M là điểm thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) bằng:
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn đẳng thức : \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {2 - a; - 2 - b;4 - c} \right) + 3\left( { - 3 - a;3 - b; - 1 - c} \right) = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 2a - 9 - 3a = 0\\ - 4 - 2b + 9 - 3b = 0\\8 - 2c - 3 - 3c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a - 5 = 0\\ - 5b + 5 = 0\\ - 5c + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;\;1;\;1} \right)\end{array}\)
Ta có :
\(\begin{array}{l}2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + 3{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right) + \overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\ = 5M{I^2} + \left( {2I{A^2} + 3I{B^2}} \right)\end{array}\)
Do I, A, B cố định nên \(2I{A^2} + 3I{B^2} = const\).
\( \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} \Leftrightarrow 5M{I^2}_{\min }\)\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu của I trên (P)
Gọi \(\left( \Delta \right)\) là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của \(\left( \Delta \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\).
M là hình chiếu của I lên (P) \( \Rightarrow M \in \left( \Delta \right) \Rightarrow M\left( { - 1 + 2t;1 - t;1 + 2t} \right)\) .
Lại có \(M \in \left( P \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( { - 1 + 2t} \right) - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 8 = 0\\ \Leftrightarrow - 2 + 4t - 1 + t + 2 + 4t - 8 = 0\\ \Leftrightarrow 9t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {1;0;3} \right)\end{array}\)
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}M{I^2} = 4 + 1 + 4 = 9;\;\;\;I{A^2} = 9 + 9 + 9 = 27;\;\;\;I{B^2} = 4 + 4 + 4 = 13\\ \Rightarrow {\left( {2M{A^2} + 3M{B^2}} \right)_{\min }} = 5.9 + 2.27 + 3.12 = 135\end{array}\)
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;0;2} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\) sao cho khoảng cách từ \(A\left( {5;0;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là
Do \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\left( {0;0;2} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\) \( \Rightarrow \Delta \subset \left( Q \right)\): qua M và song song \(\left( P \right)\).
Phương trình mặt phẳng (Q) là: \(x + y + z - 2 = 0\).
Dựng \(AH \bot \left( Q \right),AK \bot \Delta \). Ta có: \(AK \ge AH\). Do đó, khoảng cách từ \(A\left( {5;0;0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất và bằng AH khi và chỉ khi K trùng H
Khi đó, đường thẳng \(\Delta \) được xác định là đường thẳng đi qua M và H.
Phương trình đường thẳng AH là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = t\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow \)Giả sử \(H\left( {5 + t;t;t} \right) \Rightarrow 5 + t + t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( {4; - 1; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {4; - 1; - 3} \right) \Rightarrow \Delta \) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4; - 1; - 3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\), hai đỉnh \(B,C\) thuộc trục \(Oz\) và \(AA' = 1\) (\(C\) không trùng với \(O\)). Biết véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;2} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{R}\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C\). Tính \(T = {a^2} + {b^2}\).
Phương trình \(BC \equiv Oz:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\).
Mặt phẳng \(\left( {AMM'A'} \right)\) đi qua \(A'\) và vuông góc với \(BC\) nên \(\left( {AMM'A'} \right)\) đi qua \(A'\left( {\sqrt 3 ; - 1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) làm VTPT hay \(\left( {AMM'A'} \right):0\left( {x - \sqrt 3 } \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1\).
\(M = BC \cap \left( {AMM'A'} \right) \Rightarrow t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {0;0;1} \right)\)
Mà \(AA' = 1,A'M = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 2\) \( \Rightarrow AM = \sqrt {A'{M^2} - A'{A^2}} = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Tam giác \(ABC\) đều có độ dài đường cao \(AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \Rightarrow BC = 2\)
Gọi \(B\left( {0;0;m} \right),C\left( {0;0;n} \right)\) với \(n \ne 0\) thì \(BC = 2 \Leftrightarrow \left| {m - n} \right| = 2\) và \(M\left( {0;0;1} \right)\) là trung điểm \(BC \Leftrightarrow \dfrac{{m + n}}{2} = 1 \Leftrightarrow m + n = 2\).
Khi đó \(m = 0,n = 2\) vì \(n \ne 0\) hay \(C\left( {0;0;2} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {A'C} = \left( { - \sqrt 3 ;1;1} \right)\) hay \(2\overrightarrow {AC'} = \left( { - 2\sqrt 3 ;2;2} \right)\) là một VTCP của \(A'C\).
Suy ra \(a = - 2\sqrt 3 ,b = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} + {2^2} = 16\).
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1;1} \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}\). Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
Gọi \(N = d \cap \Delta \). Giả sử \(N\left( {2 - 2t;\,\,8 + t;\,\,t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 2t;\,\,7 + t;\,\,t - 1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 2;1;1} \right)\), đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTPT.
Do \(d \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2t.\left( { - 2} \right) + \left( {7 + t} \right).1 + \left( {t - 1} \right).1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;6; - 2} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {2;1;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1;3; - 1} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y = 1 + 3t'\\z = 1 - t'\end{array} \right.\).
Khi đó, giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ứng với \(t'\) thỏa mãn \(x = 2 + t' = 0 \Leftrightarrow t' = - 2\).
\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là: \(\left( {0; - 5;3} \right)\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y + 7}}{9} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có phương trình là
Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5{t_2} - {t_1} - 5;\,\,9{t_2} - 4{t_1} - 5;\,\,{t_2} - 3{t_1} - 2} \right)\).
Vì \(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {0;4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương.
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} - {t_1} - 5 = 0\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\4{t_2} - 12{t_1} - 8 = - 4k\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16{t_1} - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16\left( {5{t_2} - 5} \right) - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\ - 67{t_2} + 67 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 1\\{t_1} = 0\\k = 1\end{array} \right.\) .
\( \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,N\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {MN} \left( {0;4; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z - 2 = 0.\) Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
Vì \(M \in d:\,\,\dfrac{x}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{1} \Rightarrow \) Gọi \(M\left( { - 2t;\,\,1 + t;\,\,t} \right)\).
Ta có: \(OM = \sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 + t} \right)}^2} + {t^2}} = \sqrt {6{t^2} + 2t + 1} \).
\(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2\left( { - 2t} \right) - \left( {1 + t} \right) + 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| { - 3t - 3} \right|}}{3} = \left| {t + 1} \right|\).
Theo bài ra ta có: M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng \(\left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt {6{t^2} + 2t + 1} = \left| {t + 1} \right|\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 6{t^2} + 2t + 1 = {t^2} + 2t + 1\\ \Leftrightarrow 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow M\left( {0;1;0} \right)\)
Vậy có 1 điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(M\left( {0;1;0} \right)\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \({\mathop{\rm Oxyz}\nolimits} \), cho điểm \(A(4; - 3;5)\) và \(B(2; - 5;1).\)Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) và vuông góc với đường thẳng \((d):\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 9}}{{13}}\).
Ta có \(A\left( {4; - 3;5} \right),B\left( {2; - 5;1} \right)\) nên trung điểm của AB là \(I\left( {3; - 4;3} \right)\).
Đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 9}}{{13}}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 2;13} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với d nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 2;13} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2;13} \right)\) và đi qua \(I\left( {3; - 4;3} \right)\) có phương trình là:
\(3\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) + 13\left( {z - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 13z - 56 = 0\).
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 4z + 1 = 0\). Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình là
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\left( { - 1;3;2} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 4z + 1 = 0\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)\).
\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng là: \(\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).
Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(d'\) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d'\) là
Bước 1:
Đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = t\end{array} \right.\) đi qua hai điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và \(A\left( {1;1;1} \right)\).
Bước 2:
Hình chiếu của điểm \(O,\,\,A\) trên \(\left( {Oxy} \right)\) lần lượt là \(O\left( {0;0;0} \right)\) và \(A'\left( {1;1;0} \right)\).
Bước 3:
Khi đó hình chiếu của \(d\) là đường thẳng \(d'\) đi qua \(O,\,\,A'\), nhận \(\overrightarrow {OA'} = \left( {1;1;0} \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz,\) gọi \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) qua đường thẳng \(\Delta :\,\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\). Tính khoảng cách từ điểm \(M'\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)
Đáp án
Đáp án
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \).
Ta có: \(\Delta :\,\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và \(M\left( {2;\,\,0;\,\,1} \right)\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1;\,\,2;\,\,1} \right).\)
\( \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,x - 2 + 2y + z - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + z - 3 = 0.\)
Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(H = \left( P \right) \cap \Delta \), khi đó \(H\) là trung điểm của \(MM'\), từ đó tìm tọa độ điểm \(M'\).
Gọi \(H\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \)
\( \Rightarrow \) Toạ độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\\x + 2y + z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 + t\\x + 2y + z - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 + t\\t - 4 + 4t + 1 + t - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 + 2t\\z = 1 + t\\t = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;\,\,0;\,\,2} \right)\end{array}\)
Ta có: \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(\Delta \) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(MM'\) \( \Rightarrow M'\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right)\)
Bước 3: Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)
Ta có: \(\left( {Oxy} \right):\,\,\,z = 0.\)
\( \Rightarrow d\left( {M;\,\,\left( {Oxy} \right)} \right) = \dfrac{{\left| 3 \right|}}{1} = 3.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(d'\) là đường thẳng đối xứng với \(d\) qua mặt phẳng \((Oxy)\). Biết phương trình đó có dạng: \( d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = a+ bt\\y = c\\z = t\end{array} \right.\)
Tính $a+b+c$.
Đáp án
Đáp án
Bước 1: Gọi \(A = d \cap Oxy \Rightarrow \) Tìm tọa độ điểm \(A\).
Mặt phẳng \(Oxy\) có phương trình \(z = 0\).
Gọi \(A = d \cap Oxy \Rightarrow \) Tọa độ của \(A\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = 0\\z = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\\\Rightarrow A\left( {2;0;0} \right)\)
Bước 2: Lấy điểm \(B\) bất kì thuộc \(d\). Gọi \(B'\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(Oxy \Rightarrow \) Tìm tọa độ điểm \(B'\).
Lấy \(B\left( {0;0;1} \right) \in d\). Gọi \(B'\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(Oxy \Rightarrow B'\left( {0;0; - 1} \right)\).
Bước 3: \(d'\) là đường thẳng đối xứng với \(d\) qua mặt phẳng \(Oxy\) \( \Rightarrow d'\) đi qua \(A,\,\,B'\). Viết phương trình đường thẳng \(d'\).
\(d'\) là đường thẳng đối xứng với \(d\) qua mặt phẳng \(Oxy\) \( \Rightarrow d'\) đi qua \(A,\,\,B'\).
\( \Rightarrow d'\) nhận \(\overrightarrow {AB'} = \left( { - 2;0; - 1} \right)//\left( {2;0;1} \right)\) là 1 VTCP \( \Rightarrow d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\)
=>$a=2, b=2, c=0$
=>$a+b+c=2+2+0=4$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), khoảng cách giữa đường thẳng \(d:\,\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z + 4 = 0\) là
Đáp án:
Đáp án:
Ta có \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\) là 1 VTCP của \(d;\,\,\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 2.1 + 2\left( { - 2} \right) + 1.2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow n \Rightarrow d//\left( P \right)\).
Lấy \(M\left( {1;3;2} \right) \in d \Rightarrow d\left( {d;\left( P \right)} \right) = d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2.3 + 2.2 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - 2y - z + 7 = 0\) và điểm \(A\left( {1;1; - 2} \right)\). Điểm \(H\left( {a;b;c} \right)\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left( P \right)\). Tổng \(a + b + c\) bằng:
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\), phương trình đường thẳng \(\Delta \) là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - 2t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\,\,\,\left( \Delta \right)\)
Bước 2: Tìm \(H = \Delta \cap \left( P \right)\).
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\left( P \right)\) nên \(H = \Delta \cap \left( P \right)\) \( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - 2t\\z = - 2 - t\\2x - 2y - z + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - 2t\\z = - 2 - t\\2 + 4t - 2 + 4t + 2 + t + 7 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - 2t\\z = - 2 - t\\9t + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 1\\x = - 1\\y = 3\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - 1;3; - 1} \right)\end{array}\)
Bước 3: Tìm \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính tổng.
\( \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 3,\,\,c = - 1\).
Vậy \(a + b + c = - 1 + 3 - 1 = 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm $A’(a;b;c)$ đối xứng với điểm \(A\left( { - 1;0;3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 7 = 0\). Tìm $a+b+c$
Đáp án:
Đáp án:
\(A'\left( {a;b;c} \right)\) là điểm đối xứng với điểm \(A\left( { - 1;0;3} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - 2z - 7 = 0\).
Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} //\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \\I \in \left( P \right)\end{array} \right.\), với I là trung điểm của AA’
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + 1}}{1} = \dfrac{{b - 0}}{3} = \dfrac{{c - 3}}{{ - 2}}\\\left( {\dfrac{{a - 1}}{2}} \right) + 3.\dfrac{b}{2} - 2.\dfrac{{c + 3}}{2} - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{a + 1}}{1} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{{c - 3}}{{ - 2}}\\a + 3b - 2c = 21\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \dfrac{{a + 1}}{1} = \dfrac{b}{3} = \dfrac{{c - 3}}{{ - 2}} = \dfrac{{a + 1 + 3b - 2c + 6}}{{1 + 9 + 4}} = \dfrac{{21 + 1 + 6}}{{14}} = 2\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 6\\c = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A'\left( {1;6; - 1} \right)\)
Vậy $a+b+c=1+6+(-1)=6$
Trong không gian tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 9}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình \({m^2}x - my - 2z + 19 = 0\) với \(m\) là tham số. Tập hợp các giá trị \(m\) thỏa mãn \(d//(\alpha )\) là
\(\{ 2\} \).
\(\{ 2\} \).
\(\{ 2\} \).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1;2;9)\) và vectơ chỉ phương \(\vec u(1;3; - 1)\).
Mặt phẳng \((\alpha )\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n\left( {{m^2}; - m; - 2} \right)\).
\(d//(\alpha ) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\vec u \bot \vec n}\\{M \notin (\alpha )}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 3m + 2 = 0}\\{{m^2} - 2m + 1 \ne 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\\m \ne 1\end{array}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow m = 2\)
Vậy \(d//(\alpha ) \Leftrightarrow m = 2\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Phương trình đường thẳng d' đối xứng với d qua (P) là
Bước 1: Lấy điểm \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) thuộc d.
Lấy điểm \(B\left( {0; - 1;2} \right)\) thuộc d.
Bước 2: Tìm giao điểm A của d và (P)
Gọi A là giao điểm của d và (P).
Khi đó \(A\left( {t; - 1 + 2t;2 - t} \right)\). Thay vào (P) ta được:
\(t - 1 + 2t + 2 - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)
=> \(A\left( {1;1;1} \right)\)
Bước 3: Tìm d’
Gọi H là hình chiếu của B lên (P), B’ là điểm đối xứng B qua (P).
Khi đó H là trung điểm của BB’
Ta có đường thẳng BH đi qua B(0;-1;2) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1;1} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)
\( = > H\left( {t; - 1 + t;2 + t} \right)\). Thay vào (P) ta được:
\(t - 1 + t + 2 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{2}{3}\)
\( = > H\left( {\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right)\)\( = > B'\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right)\)
Vecto chỉ phương của AB’ là:
\(AB' = \left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\)
Đường thẳng \(d':\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{7}\)
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A( - 4; - 3;3)\) và mặt phẳng \((P):x + y + z = 0\). Đường thẳng đi qua \(A\), cắt trục $O z$ và song song với \((P)\) có phương trình là:
Ta có
\(\overrightarrow {AB} = (4;3;t - 3)\)
Do \(d//(P)\) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 4 + 3 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = - 4\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = (4;3; - 7)\)
Vậy đường thẳng cần tìm \(d:\dfrac{{x + 4}}{4} = \dfrac{{y + 3}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 7}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{x + 4}}{4}+1 = \dfrac{{y + 3}}{3} +1= \dfrac{{z - 3}}{{ - 7}}+1\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{4} = \dfrac{{y + 6}}{3} = \dfrac{{z - 10}}{{ - 7}}\)
Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104
Trong không gian \(Oxyz\) , cho các điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right),\,B\left( {1;2;1} \right),\,C\left( {3; - 2;0} \right)\) và \(D\left( {1;1; - 3} \right).\) Đường thẳng đi qua \(D\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình là
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\). Do \(d \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1; - 2} \right)\).
Do đó loại đáp án C và D.
Thay tọa độ điểm \(D\) vào phương trình đường thẳng ở đáp án B ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = t\\1 = t\\ - 3 = 1 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \emptyset \)
=> \(D\) không thuộc phương trình đường thẳng ở đáp án B.
