Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y + 7}}{9} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có phương trình là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5{t_2} - {t_1} - 5;\,\,9{t_2} - 4{t_1} - 5;\,\,{t_2} - 3{t_1} - 2} \right)\).
Vì \(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {0;4; - 1} \right)\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương.
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{t_2} - {t_1} - 5 = 0\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\9{t_2} - 4{t_1} - 5 = 4k\\4{t_2} - 12{t_1} - 8 = - 4k\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16{t_1} - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\13{t_2} - 16\left( {5{t_2} - 5} \right) - 13 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = 5{t_2} - 5\\ - 67{t_2} + 67 = 0\\{t_2} - 3{t_1} - 2 = - k\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = 1\\{t_1} = 0\\k = 1\end{array} \right.\) .
\( \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,N\left( {1;\,\,2;\,\,1} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;4; - 1} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {MN} \left( {0;4; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 2 + 4t\\z = 2 - t\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(M = d \cap {\Delta _1} \Rightarrow M\left( {1 + {t_1};\,\, - 2 + 4{t_1};\,\,2 + 3{t_1}} \right)\), \(N = d \cap {\Delta _2} \Rightarrow N\left( { - 4 + 5{t_2};\,\, - 7 + 9{t_2};\,\,{t_2}} \right)\).
- Vì
\(d \bot \left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) nên \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow n \) là 2 vectơ cùng phương với \(\overrightarrow n \) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\).
- Giải hệ phương trình \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n \,\,\left( {k \ne 0} \right)\) tìm \({t_1},\,\,{t_2},\,\,k\), suy ra tọa độ các điểm \(M,\,\,N\).
- Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) là \(\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}\)
