Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {2;n;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {m;3; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Để \(d \subset \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  \bot \overrightarrow {{n_p}} \\M \in \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}}  = 0\\4 + n - 1 + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 5 = 0\\n =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n =  - \dfrac{5}{2}\\n =  - 6\end{array} \right.\) .

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 2;1} \right)\).

Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;2m - 1} \right)\). 

Để \(d\parallel \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\A \notin \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 = 0\\7 - n \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..\)

Ta có: \(d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\M \in d,M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\)

Do đó nếu \(d//\left( P \right)\) thì \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow n  = 0\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 7} \right)\).

Do \(d \bot \left( \alpha  \right)\) nên có VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left( {4;3; - 7} \right)\).

\(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - 2t\\z = 3t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1 + 2t; - 1 - 2t;3t} \right)\)

\(M = d \cap \left( P \right) \Rightarrow 1 + 2t - 1 - 2t - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow  - 3t - 3 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow M\left( { - 1;1; - 3} \right)\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;3;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

+) \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 3 - 6 + 3 = 0\). \(\left( 1 \right)\)

+) \(1 - 2.2 + 3.3 - 1 \ne 0\) hay \(M \notin \left( P \right)\). \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(d\) song song với \(\left( P \right)\).

Giả sử $M$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$. 

Lấy \(M \in (d) \Rightarrow M\left( {2t;1 - t;3 + t} \right)\)

Vì \(M \in (P) \Rightarrow 2t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

Suy ra ta có \(M\left( {6; - 2;6} \right)\), suy ra $d$ cắt $(P)$ tại $1$ điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.

Mặt khác giả sử $d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{1}$(vô lý). Do đó loại C

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  = (2;m;m - 2)\\\overrightarrow {{n_P}}  = (1;3;2)\end{array} \right.$   

$d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{m}{3} = \dfrac{{m - 2}}{2} \Leftrightarrow m = 6$

$\left( P \right)$ vuông góc với $d \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} //\overrightarrow {{u_d}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = k.\overrightarrow {{u_d}} $.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {4;1;0} \right)\) và trong các đáp án chỉ có đáp án D thỏa mãn $\overrightarrow {{n_P}} $ cùng phương $\overrightarrow {{u_d}} $.

Dễ thấy điểm \(\left( {0;2; - 1} \right)\) thuộc cả hai mặt phẳng.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2; - 3;1} \right)\)

Giao tuyến \(d\) đi qua điểm \(A\left( {0;2; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 3;1} \right)\) làm VTCP nên phương trình chính tắc của \(d\) là:

\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)

$(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow {{n_\alpha }}  = (4;3; - 7)$

Lấy $A(0; - 1;0) \in \left( \alpha  \right)$. Gọi $A' \in \left( \beta  \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$.

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\).

$\begin{array}{l} \Rightarrow A'(0;3;2)\\ \Rightarrow 4(x - 0) + 3(y - 3) - 7(z - 2) = 0\\ \Rightarrow 4x + 3y - 7z + 5 = 0\end{array}$

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 5;4} \right)\).

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 5;4} \right)\).

Do đó \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\).

Khi đó tọa độ hình chiếu \(H\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\\2x - 5y + 4z - 36 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; - 2;6} \right)\).

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}(P) \bot (d) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}  = (1;1; - 2)\\A(1;2; - 3) \in (d)\end{array} \right. \Rightarrow d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 2}}$

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 3;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$

Vì $(P)//{d_1},{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$

Ta có:

$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} ( - 3; - 2; - 1)\\A(1;2;3)\end{array} \right. \Rightarrow  - 3(x - 1) - 2(y - 2) - (z - 3) = 0\\ \Leftrightarrow  - 3x - 2y - z + 10 = 0\end{array}$

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 3;2; - 2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 3;2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 1; - 7} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {4; - 1; - 7} \right)\) làm VTPT nên \(\left( Q \right):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7z + 6 = 0\)

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right),\left( Q \right)\).

Dễ thấy điểm \(\left( {0; - 1;1} \right)\) thuộc cả hai mặt phẳng và \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\)

Do đó \(d'\) đi qua \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {2;1;1} \right)\).

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 2; - 5;3)$

Vì \(\Delta \) vuông góc với $d$ và song song với $ (P)\Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 2; - 5;3} \right)$

Ta có:

\((\Delta ):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  = ( - 2; - 5;3)\\A(1;1; - 2) \in (\Delta )\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 2}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{5} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 3}}\) 

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 5;1;3)$

Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(A,B\)  và song song với đường thẳng $d$ nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5;1;3} \right)\)

Ta có:

$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}}  = ( - 5;1;3)\\A(1;1;2) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow  - 5(x - 1) + (y - 1) + 3(z - 2) = 0\\ \Leftrightarrow  - 5x + y + 3z - 2 = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z + 2 = 0\end{array}$

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;2;3} \right)\\\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1; - 1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {9;0; - 3} \right)$

Vì $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với  $ (P) \Rightarrow \overrightarrow n  = {\rm{[}}\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} {\rm{]}}$. Chọn $\overrightarrow n  = (3;0; - 1)$

Lấy $A(2; - 1;1) \in (d)$, suy ra \(A \in (Q)\)

Ta có:

$(Q):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  = (3;0; - 1)\\A(2; - 1;1) \in (Q)\end{array} \right. \Rightarrow 3(x - 2) - 1(z - 1) = 0 $

$\Leftrightarrow 3x - z - 5 = 0$

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2; - 3} \right)\); \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Gọi \(A = d \cap \left( P \right)\), tọa độ điểm \(A\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\\x + 2y - 3z + 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;1;1} \right)\).

Do \(\Delta \) nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(d\) nên có VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(\Delta \) được xác định là đi qua \(A\left( { - 3;1;1} \right)\) và có VTCP  \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {1; - 2; - 1} \right)\) nên có phương trình \(\Delta :\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Xét đáp án A có

$1 - 2.1 + 3.1 - 2 = 0 \Rightarrow A \in (P)$

$4 - 2.1 + 3.0 - 2 = 0 \Rightarrow B \in (P)$

\(d(C,(P)) = \dfrac{{| - 1 - 8 - 3 - 2|}}{{\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} \)