Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z + 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + mt\\y = n + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\). Với giá trị nào của \(m,{\rm{ }}n\) thì \(d\) nằm trong \(\left( P \right)\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 6;0} \right)\), \(C\left( {0;0;6} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y + z - 4 = 0\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của trọng tâm tam giác \(ABC\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$, cho hai đường thẳng \({\ell _1}:x - 1 = \dfrac{{y + 2}}{2} =  - z\) và \({\ell _2}:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\). Gọi \((Q)\) là mặt phẳng chứa \({\ell _1}\) và tạo với \({\ell _2}\) một góc lớn nhất là \(\alpha \). Khi đó \(\cos \alpha \) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y - 2z + 4 = 0\). Mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 3y - z - 7 = 0\) và điểm \(A\left( {3;5;0} \right)\). Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Điểm \(A'\) có tọa độ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $A(1;2; - 3)$và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{3}$. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - {\mkern 1mu} 3}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\{\rm{ \;}}y = 2 - t\\{\rm{ \;}}z = 1 + 2t\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng $\left( {\alpha {\rm{\;}}} \right)$ song song với hai đường thẳng ${\Delta _1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\Delta _2}$ và cách điểm \(I\left( {1; - 1;3} \right)\) một khoảng bằng $\dfrac{{\sqrt {35} }}{5}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{9}{5} - t\\y = 5t\\z = \dfrac{7}{5} + 3t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0\).

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của \(d'\)?