Bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong

Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4\left( {m + 1} \right)x$$ \Rightarrow y'\left( 1 \right) =  - 4m$

Vì tiếp tuyến $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d$ nên \(k.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow k = 4 = y'\left( 1 \right) =-4m\)

Vậy $m$ thỏa mãn đề bài là  $m =  - 1$

TXĐ: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: $y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Gọi $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $(C)$. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại điểm $M$ là: $\Delta :\,\,y = y'\left( {{x_o}} \right)\left( {x - {x_o}} \right) + {y_o} = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_o}} \right) + \dfrac{{2{x_o} - 1}}{{{x_o} - 1}}$

Gọi $A\left( {{x_A};0} \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và trục $Ox$; $B\left( {0;{y_B}} \right)$ là giao điểm của $\Delta $ và trục $Oy$.

$ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}{x_A} = 2x_o^2 - 2{x_o} + 1 \hfill \\  {y_B} = \dfrac{{2x_o^2 - 2{x_o} + 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Theo đề bài ta có tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

$ \Rightarrow $ tam giác $OAB$ cân tại $O$

$ \Leftrightarrow OA = OB \Leftrightarrow \left| {{x_A}} \right| = \left| {{y_B}} \right|$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right| = \left| {\dfrac{{2x_o^2 - 2{x_o} + 1}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right|\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right| = 0\\1 - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {{x_o} - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_o} = 0\left( {tm} \right)\\{x_o} = 2\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có hai điểm $M$ là: $M\left( {0;1} \right)$ và $M\left( {2;3} \right)$

Ta có: $y' = {x^2} - 2mx - 6m$.

Gọi điểm $M(x;y)$ là điểm cố định của đồ thị hàm số.

Khi đó:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} - 6mx - 9m + 12 \Leftrightarrow  - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right).m + \dfrac{{{x^3}}}{3} + 12 - y = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0 \\ \dfrac{{{x^3}}}{3} + 12 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^2} = 0 \\ \dfrac{{{x^3}}}{3} + 12 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó $M\left( { - 3;3} \right)$ là điểm cố định thuộc đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$.

$ \Rightarrow y'\left( { - 3} \right) = 9$

Vậy phương trình tiếp tuyến cố định của đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ tại $M$ là:$y = 9\left( {x + 3} \right) + 3 = 9x + 30$

Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2$ 

Điểm uốn của đồ thị hàm số là $U\left( -2;1 \right)$

Xét đường thẳng $d$ đi qua $U\left( -2;1 \right)$ có phương trình $y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1$ hay $y = {k_d}x + 2{k_d} + 1$

$d$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)$

$OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} =  \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} =  - \dfrac{1}{2}$

Nếu ${k_d} =  - \dfrac{1}{2}$ thì $y =  - \dfrac{1}{2}x$ nên $A \equiv B$ (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của $d$ là ${k_d} =  \pm \dfrac{1}{{2017}}$

Do đó có 2 đường thẳng $d$ thỏa mãn

Từ đó suy ra có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn bài toán.

Ta có: \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ đã cho và $\left( H \right)$.

$\begin{array}{l} - 2x + m = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( { - 2x + m} \right) = 2x + 3\\ \Leftrightarrow  - 2{x^2} + \left( {m - 4} \right)x + 2m = 2x + 3\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {6 - m} \right)x + 3 - 2m = 0{\rm{ }}\left( * \right)\end{array}$

$d$ cắt $\left( H \right)$ tại 2 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow $ Phương trình (*) có $2$  nghiệm phân biệt khác \( - 2\)

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {6 - m} \right)^2} - 8\left( {3 - 2m} \right) > 0\\2.{\left( { - 2} \right)^2} + \left( {6 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 3 - 2m \ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 12 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.$

(luôn đúng)

Gọi hoành độ giao điểm hai điểm \(A,B\) lần lượt là \({x_1},{x_2}\), khi đó:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m - 6}}{2}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{3 - 2m}}{2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\({k_1}.{k_2} = \dfrac{1}{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{{{\left( {{x_2} + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right)} \right]}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left[ {{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4} \right]}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\dfrac{{3 - 2m}}{2} + 2.\dfrac{{m - 6}}{2} + 4} \right]}^2}}}\)

\( = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3 - 2m + 2m - 12 + 8}}{2}} \right)}^2}}} = 4\)

Khi đó \(P = k_1^{2018} + k_2^{2018} \ge 2{\left| {{k_1}{k_2}} \right|^{1009}} = {2.4^{1009}} = {2^{2019}}\).

Dấu “=” xảy ra khi \({k_1} = {k_2} = 2\) hay hai tiếp tuyến tại hai giao điểm song song.

Điều này chỉ xảy ra khi hai giao điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng \(I\) của đồ thị \(\left( H \right)\) hay \(d\) đi qua \(I\left( { - 2;2} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

\( \Leftrightarrow I \in d \Leftrightarrow 2 = -2.\left( {-2} \right) + m \Leftrightarrow m = -2\)

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2 = {x^2} + x - 2\\3{x^2} + \dfrac{5}{4} = 2x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {x^2} + \dfrac{1}{4}x = 0\\3{x^2} - 2x + \dfrac{1}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Vậy $x = \dfrac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.

Để đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$ tiếp xúc với trục $Ox$ thì phương trình hoành độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow {x^3} + m{x^2} - 9x - 9m = 0(1)$

$ \Leftrightarrow \left( {x + m} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x =  - m \hfill \\x =  \pm 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow m =  \pm 3.$

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có \(y' = 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 1\).

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_0} + m - 1\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}k > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_0} + m - 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right) < 0\,\end{array} \right.\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - 3m + 3 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < m < 4\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \left\{ {2;3} \right\}\).

Vậy tập hợp \(S\) có 2 phần tử.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\).

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\).

Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{m - 2}} + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\).

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(x = 2\) là \(A\left( {2;\,\dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)\).

Cho \(y = 2 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = 2\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 2\left( {x - m} \right) + \left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2} \right) = 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2x + 2m + 2{m^2} - 6m + 4 = 2{m^2} - 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m - 4 \Leftrightarrow x = 2m - 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(B\left( {2m - 2;\,2} \right)\).

Ta có: \(AB = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)^2} = 20\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - 5{\left( {m - 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8\).

Ta có: $y' = 3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2$

Số cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có tiếp tuyến song song nhau

$ \Leftrightarrow $ số cặp nghiệm phương trình $3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2 = m$ với $m \in R$ thỏa mãn phương trình $3{x^2} - 6x + 2 = m$ có hai nghiệm phân biệt.Có vô số giá trị của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có vô số cặp điểm.

Ta có: $f'\left( x \right) = 3{x^2} + a$.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $x = a$ là: $f'\left( a \right) = 3{a^2} + a$.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $x = b$ là: $f'\left( b \right) = 3{b^2} + a$.

Tiếp tuyến tại $x = a$ và $x = b$ song song với nhau $f'\left( a \right) = f'\left( b \right)$

$\begin{gathered}  \Leftrightarrow 3{a^2} + a = 3{b^2} + a \hfill \\   \Leftrightarrow 3{a^2} = 3{b^2} \hfill \\   \Leftrightarrow a =  - b\,\,\left( {do\,\,a \ne b} \right) \hfill \\ \end{gathered} $.

Khi đó $f\left( x \right) = {x^3} + ax - a$$ \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 + a - a = 1.$

Ta có:

$y'=\left( \dfrac{f\left( x \right)+3}{g\left( x \right)+1} \right)'=\dfrac{f'\left( x \right)\left( g\left( x \right)+1 \right)-g'\left( x \right)\left( f\left( x \right)+3 \right)}{{{\left( g\left( x \right)+1 \right)}^{2}}}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - g'\left( 1 \right)\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{f'\left( 1 \right)\left( {g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} = f'\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( 1 \right) - f\left( 1 \right) - 2 = {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow f\left( 1 \right) =  - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3\end{array}$

Xét phương trình \( - {g^2}\left( 1 \right) - g\left( 1 \right) - 3 = 0\) có:

$\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 11 < 0;a =  - 1 < 0$

$\dfrac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\,\,\, \Rightarrow f\left( 1 \right) \le \dfrac{{ - 11}}{4}$

Bước 1: Tìm tập xác định.

Xét hàm số: \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Bước 2: Tìm y' và thay x=2 vào tính y'(2).

Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

\( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2;\,\,4} \right)\) là: \(y'\left( 2 \right) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} =  - 3.\)

Bước 1: Tính $y'(1)$ và $y(1)$

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = \dfrac{{ - 3}}{1} =  - 3\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - 2}} =  - 2\).

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1.

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y =  - 3\left( {x - 1} \right) - 2 =  - 3x + 1\).

\(a =  - 3,\,\,b = 1 \Rightarrow a + b =  - 2.\)

Ta có \(y = {x^3} - 2x + 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 2\).

Vậy hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( { - 1;2} \right)\) là \(k = y'\left( { - 1} \right) = 3{\left( { - 1} \right)^2} - 2 = 1\)

Bước 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{5x - 1}}{{x + 1}}\) với trục tung có hoành độ là \(x = 0\).

Bước 2: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Ta có: \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{5x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{6}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

Do đó, hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 0 là \(f'\left( 0 \right) = \dfrac{6}{{{{\left( {0 + 1} \right)}^2}}} = 6\).

Bước 1: Tham số hóa tiếp điểm có tung độ bằng 5 và lập phương trình liên quan đến tiếp điểm và đồ thị tìm tham số.

Gọi \(M\left( m;5 \right)\in \left( C \right)\) suy ra \({{m}^{4}}-3{{m}^{2}}+1=5\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm \,2.\)

Bước 2: Thay tham số vào y' để tìm phương trình tiếp tuyến.

Ta có \({y}'=4{{x}^{3}}-6x\,\,\Rightarrow \,\,\left[ \begin{align}  {y}'\left( 2 \right)=20 \\  {y}'\left( -\,2 \right)=-\,20 \\ \end{align} \right.\) suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\left[ \begin{align}  y=20x-35 \\  y=-\,20x-35 \\ \end{align} \right..\)