Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Gọi số phức \(z = x + yi\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) có mô đun \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Từ đề bài ta có \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\)

Và \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)  là số thuần ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x =  - y\end{array} \right.\)

+ Với \(x = y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2  \Rightarrow y = \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 2  \Rightarrow y =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

+ Với \(x =  - y \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow 2{x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2  \Rightarrow y =  - \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 2  \Rightarrow y =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy có 4 số phức thỏa mãn đề bài \(\sqrt 2  + \sqrt 2 i;\, - \sqrt 2  - \sqrt 2 i;\,\sqrt 2  - \sqrt 2 i;\, - \sqrt 2  + \sqrt 2 i\)

Bước 1: Phân tích \(S = \left| {{z_1} - 2i{z_2}} \right|.\left| {{z_1} + 2i{z_2}} \right|\)

Ta có \(S = \left| {z_1^2 + 4z_2^2} \right| = \left| {z_1^2 - {{\left( {2i{z_2}} \right)}^2}} \right|\)\( = \left| {{z_1} - 2i{z_2}} \right|.\left| {{z_1} + 2i{z_2}} \right|\)

Bước 2: Gọi \(P\) là điểm biểu diễn của số phức \(2i{z_2}\). Chứng minh \(\left| {{z_1} - 2i{z_2}} \right|.\left| {{z_1} + 2i{z_2}} \right| = 2PM.OI\)

Gọi \(P\) là điểm biểu diễn của số phức \(2i{z_2}\).

Khi đó, ta có \(\left| {{z_1} - 2i{z_2}} \right| \cdot \left| {{z_1} + 2i{z_2}} \right| = |\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OP} | \cdot |\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OP} |\)

\(\left| {{z_1} - 2i{z_2}} \right| \cdot \left| {{z_1} + 2i{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {PM} } \right| \cdot \left| {2\overrightarrow {OI} } \right| = 2PM.OI\) (I là trung điểm PM).

Bước 3: Tính S.

Do \(\widehat {MON} = {30^0}\) nên áp dụng định lí cosin ta tính được \(MN = 1\).

Khi đó \(\Delta OMP\) có MN đồng thời là đường cao và đường trung tuyến,  suy ra \(\Delta OMP\) cân tại \(M \Rightarrow PM = OM = 2\). suy ra \(\Delta OMP\) cân tại \(M \Rightarrow PM = OM = 2.\)

Áp dụng định lí đường trung tuyến cho \(\Delta OMN\) ta có: \(O{I^2} = \dfrac{{O{M^2} + O{P^2}}}{2} - \dfrac{{M{P^2}}}{4} = 7\). Vầy \(S = 2PM.OI = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 7  = 4\sqrt 7 \).

Số phức \(z = 2i\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(P\left( {0;2} \right)\).

Gọi số phức \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\).

Từ giả thiết thứ nhất ta có:

\({\left| z \right|^2} = 2\left| {z + \overline z } \right| + 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2\left| {a + bi + a - bi} \right| + 4 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2.2\left| a \right| - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 4a - 4 = 0\\{a^2} + {b^2} + 4a - 4 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các số phức z là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x - 4 = 0\) hoặc \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 4x - 4 = 0\).

Từ giả thiết thứ hai ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {z - 1 - i} \right| = \left| {z - 3 + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {a - 1 + bi - i} \right| = \left| {a - 3 + bi + 3i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2a + 1 - 2b + 1 =  - 6a + 9 + 6b + 9\\ \Leftrightarrow 4a - 8b - 16 = 0\\ \Leftrightarrow a - 2b - 4 = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các số phức z là đường thẳng \(x - 2y - 4 = 0\,\,\left( d \right)\).

Vậy số phức thỏa mãn 2 giả thiết trên là số giao điểm của \(d\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_2}} \right)\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy có 3 giao điểm của \(d\) với \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( d \right)\) với \(\left( {{C_2}} \right)\). Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điểm \(M\left( {3; - 5} \right)\) là điểm biểu diễn hình học của số phức \(z = 3 - 5i.\)

Ta có:  \(\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \)

\( \Rightarrow \)  Tập hợp điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn của số phức \(z = x + yi,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ với \(A\left( {1; - 3} \right),\,B\left( {2;1} \right)\).

Ta có: \(z = 25i - 3 =  - 3 + 25i\) \( \Rightarrow \overline z  =  - 3 - 25i\)

\( \Rightarrow Q\left( { - 3; - 25} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(\overline z .\)

Ta có : \(w = \dfrac{{z + 1 - i}}{{iz + 3}} \Leftrightarrow z + 1 - i = wiz + 3w \Leftrightarrow z\left( {1 - iw} \right) = 3w + i - 1 \Leftrightarrow z = \dfrac{{3w + i - 1}}{{1 - iw}}\) 

Đặt \(w = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thì \(z = \dfrac{{3\left( {a + bi} \right) + i - 1}}{{1 - i\left( {a + bi} \right)}} = \dfrac{{3a - 1 + \left( {3b + 1} \right)i}}{{1 + b - ai}}\)

Mà

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = 2\sqrt 2  \Rightarrow \left| {\dfrac{{3a - 1 + \left( {3b + 1} \right)i}}{{1 + b - ai}}} \right| = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - 1 + \left( {3b + 1} \right)i} \right|}}{{\left| {1 + b - ai} \right|}} = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2} + {{\left( {3b + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {\left( {1 + {b^2}} \right) + {a^2}} .2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 9{a^2} - 6a + 1 + 9{b^2} + 6b + 1 = 8\left( {{a^2} + {b^2} + 2b + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 6a - 10b - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} = 40\end{array}\)

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \(I\left( {3;5} \right)\) bán kính \(R = 2\sqrt {10} \).

Vì \(M\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = 1 + i\) nên tọa độ điểm \(M\) là \((1;1)\).

Vì \(N\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2} = 8 + i\) nên tọa độ điểm \(N\) là \((8;1)\).

Vì \(P\) là điểm biểu diễn số phức \({z_3} = 1 - 3i\) nên tọa độ điểm \(P\) là \((1; - 3)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = (7;0),\overrightarrow {MP}  = (0; - 4)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {MP}  = 0}\\{|\overrightarrow {MN} | \ne |\overrightarrow {MP} |}\end{array}} \right.\) hay tam giác MNP vuông tại \(M\) và không phải tam giác cân.

Do \(A,\,\,B\) lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số phức \({z_1} = 1 + i\) và \({z_2} = 1 - 3i\) \( \Rightarrow A\left( {1;1} \right),\,B\left( {1; - 3} \right)\).

Vì \(M\)  là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \)

Vậy điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\)  là điểm biểu diễn cho số phức \(1 - i.\)

1) \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = {z_2}\\{z_1} =  - {z_2}\end{array} \right.\): Sai

2) \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\): Đúng

3)  Nếu \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\) thì \({z_1}.\overline {{z_2}}  + {z_2}.\overline {{z_1}}  = 0\): Đúng

Giả sử \({z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i,\,\,A\left( {{a_1};{b_1}} \right),\,\,B\left( {{a_2};{b_2}} \right)\). Khi đó:

\(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}{b_2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{a_1} + {b_1}i} \right).\left( {{a_2} - {b_2}i} \right) + \left( {{a_1} - {b_1}i} \right).\left( {{a_2} + {b_2}i} \right) = 0 \Leftrightarrow \)\({z_1}.\overline {{z_2}}  + {z_2}.\overline {{z_1}}  = 0\).

4) \(O{C^2} + A{B^2} = 2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)\): Đúng

Giả sử \({z_1} = {a_1} + {b_1}i,\,\,\,{z_2} = {a_2} + {b_2}i,\,\,A\left( {{a_1};{b_1}} \right),\,\,B\left( {{a_2};{b_2}} \right),\,\,C\left( {{a_1} + {a_2};{b_1} + {b_2}} \right)\). Khi đó:

\(O{C^2} + A{B^2} = {\left( {{a_1} + {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} + {b_2}} \right)^2} + {\left( {{a_1} - {a_2}} \right)^2} + {\left( {{b_1} - {b_2}} \right)^2} = 2{a_1}^2 + 2{b_1}^2 + 2{a_2}^2 + 2{b_2}^2 = 2\left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)\).

Ta có \(M\left( {1; - 2} \right)\) là điểm biểu phức z nên \(z = 1 - 2i\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z  = 1 + 2i\\\,\,\,\,\,\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 5 .\end{array}\)

Vậy khẳng định B đúng.

Theo bài ra ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {\overline z  + 1 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {\overline z  + \overline {1 + i} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {\overline {z + 1 + i} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 3i} \right| = \left| {z + 1 + i} \right|\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {a + bi - 1 + 3i} \right| = \left| {a + bi + 1 + i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right| = \left| {a + 1 + \left( {b + 1} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - 2a + 1 + 6b + 9 = 2a + 1 + 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a - 4b - 8 = 0\\ \Leftrightarrow a - b - 2 = 0\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(x - y - 2 = 0\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(A\left( { - 2;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right)\).

Gọi I là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\).

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức \( - \dfrac{1}{2} + 2i\).

Điểm \(M\left( { - 1;\,\,2} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) \( \Rightarrow z =  - 1 + i.\)

\( \Rightarrow \) Phần thực của số phức \(z\) là \( - 1\).

Vì A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn ba số phức \({z_1} = 1 + i\), \({z_2} = {\left( {1 + i} \right)^2} = 2i\) và \({z_3} = a - i\) nên ta có A(1;1), B(0;2) và C(a;-1).

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {1; - 1} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {a; - 3} \right)\).

Tam giác ABC vuông tại B thì \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 0\).

\( \Leftrightarrow 1.a - 1.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\)

Ta có điểm biểu diễn của số phức z là \(M\left( {m - 2;{m^2} - 1} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 2\\y = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow y + 1 = {\left( {x + 2} \right)^2} \Leftrightarrow y = {x^2} + 4x + 3\)

\( \Rightarrow \left( C \right):\,\,y = {x^2} + 4x + 3\) là 1 parabol.

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 4x + 3\) với trục hoành là: \({x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| {{x^2} + 4x + 3} \right|dx}  =  - \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)}  = \dfrac{4}{3}.\)

Cách 1:

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,\,y \in \mathbb{R}} \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\\ = \left( {1 - x - yi} \right)\left( {x - yi + 2i} \right)\\ = \left( {1 - x - yi} \right)\left( {x - \left( {y - 2} \right)i} \right)\\ = \left( {1 - x} \right)x - \left( {1 - x} \right)\left( {y - 2} \right)i - xyi - y\left( {y - 2} \right)\\ = \left[ {\left( {1 - x} \right)x - y\left( {y - 2} \right)} \right] - \left[ {\left( {1 - x} \right)\left( {y - 2} \right) + xy} \right]i\end{array}\)

Để \(\left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right)\) là số thực thì \({\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {1 - z} \right)\left( {\bar z + 2i} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {y - 2} \right) + xy = 0\\ \Leftrightarrow y - 2 - xy + 2x + xy = 0\\ \Leftrightarrow y = 2 - 2x\end{array}\)

Khi đó ta có: \({\left| z \right|^2} = {x^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {2 - 2x} \right)^2} = 5{x^2} - 8x + 4\).

 \( \Rightarrow {\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}_{\min } \Leftrightarrow x = \dfrac{8}{{2.5}} = \dfrac{4}{5}\), khi đó \(y = 2 - 2.\dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}\).

Vậy số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: .\(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\).

\(\left( {2 - i} \right)z = 7 - i \Rightarrow z = \dfrac{{7 - i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - i)(2 + i)}}{5} = \dfrac{{15 + 5i}}{5} = 3 + i\)

Suy ra điểm có tọa độ $\left( {3;1} \right)$ sẽ biểu diễn số phức $z$, suy ra $M$ thỏa mãn.

Điểm \(M\left( {1;1} \right)\) biểu diễn số phức \(z = 1 + i \Rightarrow 2z = 2 + 2i\).

Do đó điểm biểu diễn số phức \(2z\) là \(\left( {2;2} \right)\) (điểm \(E\)).