Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ta có: $\left| z \right| + z = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 0 + 0i$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left| a \right| + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \le 0\end{array} \right.$
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$ và điểm $A$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của $z$. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \dfrac{1}{{iz}}$ là một trong bốn điểm $M,N, P, Q$. Khi đó điểm biểu diễn của số phức $w$ là
Do điểm $A$ là điểm biểu diễn của $z$ nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng $Oxy$ nên gọi $z = a + bi\left( {a,b > 0} \right)$
Do $\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
Lại có: \({\text{w}} = \dfrac{1}{{iz}} = \dfrac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} - \dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}}i\) .
$\left| {\rm{w}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{iz}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| i \right|.\left| z \right|}} = \sqrt 2 = 2\left| z \right| = 2OA$
Vậy điểm biểu diễn của số phức $w$ là điểm $P$.
Trong mặt phẳng phức gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 3 + 2i;{z_2} = 3 - 2i;{z_3} = - 3 - 2i\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Ta có: ${z_1} = 3 + 2i \Rightarrow A\left( {3;2} \right);{z_2} = 3 - 2i \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right);{z_3} = - 3 - 2i \Rightarrow C\left( { - 3; - 2} \right)$.
Suy ta trọng tâm của $\Delta ABC$ là G\(\left( {1; - \dfrac{2}{3}} \right)\) suy ra phương án B sai.
Gọi \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = 3 - 2i\) và \({z_2} = 1 + 4i\). Trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là:
Vì \(A\) và \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức \({z_1} = 3 - 2i\) và \({z_2} = 1 + 4i\) nên \(A\left( {3; - 2} \right)\) và \(B\left( {1;4} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{3 + 1}}{2};\dfrac{{ - 2 + 4}}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {2;1} \right)\).
Biết rằng điểm biểu diễn số phức \(z\) là điểm \(M\) ở hình bên dưới. Modun của \(z\) bằng:
Từ hình vẽ ta thấy \(M\left( {2;\,\,1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\) \( \Rightarrow z = 2 + i\)
\( \Rightarrow \) Modun của số phức \(z\) là: \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + 1} = \sqrt 5 .\)
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = - 1 + 6i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(z' = - 1 - 6i\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Số phức \(z = - 1 + 6i\) có điểm biểu diễn là \(A\) suy ra \(A\left( { - 1;6} \right)\).
Số phức \(z' = - 1 - 6i\) có điểm biểu diễn là \(B\) suy ra \(B\left( { - 1; - 6} \right)\).
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {x_B}\\{y_A} = - {y_B}\end{array} \right.\) nên \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua trục hoành.
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1};{z_2}$ khác $0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?
Ta có: $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$ là khẳng định sai vì dựa vào đồ thị ta có: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$
Số phức \(z\) được biểu diễn trên trên mặt phẳng như hình vẽ.
Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức $w = \dfrac{i}{{\overline z }}$
Giả sử $z = a + bi$ với $0 < a,b < 1$.
Có $w = \dfrac{i}{{\overline z }} = \dfrac{i}{{a - bi}} = \dfrac{{i(a + bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{ - b}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{ai}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Vì $z$ thuộc góc phần tư thứ I nên \( - \dfrac{b}{{{a^2} + {b^2}}} < 0;\dfrac{a}{{{a^2} + {b^2}}} > 0\). Do đó $w$ thuộc góc phần tư thứ II.
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?
Đặt \(z = a + bi\)
Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)
${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$
Do \({z^2}\) là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$
TH1: b=a thay vào (1) ta được:
${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$
TH2: b=-a thay vào (1) ta được:
${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$
Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Ta có: ${z_2} = 2i$
Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:
Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)$ thì ${\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 0\end{array} \right.$
Do đó tập điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = 0$.
Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|$. Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $z$ trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó
Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$. Ta có
$\begin{array}{l}\left| {z + 1 - i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {b - 1} \right)i} \right| = \left| {\left( {a - 1} \right) + \left( {b + 2} \right)i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4a - 6b - 3 = 0\end{array}$
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $4x-6y-3 = 0$
Cho số phức $z$ thỏa mãn \({(1 + z)^2}\) là số thực. Tập hợp điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là:
\({\left( {1 + z} \right)^2} = {(1 + x + iy)^2} = {\left( {1 + x} \right)^2} - {y^2} + 2(1 + x)yi\).
Để \({\left( {1 + z} \right)^2}\) là số thực thì \(2(1 + x)y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn là hai đường thẳng $x = - 1$ và $y = 0$
Cho số phức $z$ thay đổi, luôn có $\left| z \right| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = (1 - 2i)\overline z + 3i$ là
Giả sử ${\rm{w}} = a + bi(a,b \in R) \Rightarrow a + bi = (1 - 2i)\overline z + 3i$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z = \dfrac{{a + (b - 3)i}}{{1 - 2i}} = \dfrac{{\left[ {a + (b - 3)i} \right](1 + 2i)}}{5} = \dfrac{{a - 2(b - 3) + (2a + b - 3)i}}{5}\\ \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \dfrac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2(b - 3)} \right]}^2} + {{(2a + b - 3)}^2}} = 2\\ \Rightarrow {(a - 2b + 6)^2} + {(2a + b - 3)^2} = 100\\ \Rightarrow {(a - 2b)^2} + {(2a + b)^2} + 12(a - 2b) - 6(2a + b) = 55\\ \Rightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Rightarrow {a^2} + {(b - 3)^2} = 20\end{array}$
Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=4$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức
$w = \left( {3 + 4i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{l}}{w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)}\\{ \Rightarrow z = \dfrac{{w - i}}{{3 + 4i}} = \dfrac{{x + \left( {y - 1} \right)i}}{{3 + 4i}}}\\{ = \dfrac{{3x + 4\left( {y - 1} \right) + \left[ {3\left( {y - 1} \right) - 4x} \right]i}}{{25}}}\end{array}}\\{\begin{array}{*{20}{l}}{16 = {{\left| z \right|}^2} = {{\left( {\dfrac{{3x + 4y - 4}}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{ - 4x + 3y - 3}}{{25}}} \right)}^2}}\\{{{\left[ {\dfrac{3}{{25}}x + \dfrac{4}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{{ - 4}}{{25}}x + \dfrac{3}{{25}}\left( {y - 1} \right)} \right]}^2} = 16}\\{ \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{{25}}} \right)}^2}} \right]}\\{ + {{\left( {y - 1} \right)}^2}\left[ {{{\left( {\dfrac{4}{{25}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{3}{{25}}} \right)}^2}} \right] = 16}\\{ \Leftrightarrow {x^2}.\dfrac{1}{{25}} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}.\dfrac{1}{{25}} = 16}\\{ \Rightarrow {x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} = 400 \Rightarrow r = 20}\end{array}}\end{array}\)
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức $z$ thoả mãn điều kiện \(2\left| {z - i} \right| = \left| {z - \overline z + 2i} \right|\) là hình gì?
Đặt
$\begin{array}{l}z = a + bi;a,b \in R;{i^2} = - 1\\ \Rightarrow z - i = a + \left( {b - 1} \right)i\\ \Rightarrow z - \overline z + 2i = \left( {2 + 2b} \right)i\\ \Rightarrow \left| {z - \overline z + 2i} \right| = 2\left| {z - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2 + 2b} \right)}^2}} = 2\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16b = 0 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{4}{a^2}\end{array}$
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường parabol
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\).
Gọi \(z = x + yi\). Khi đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức$z$.
Ta có : \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10 \)
$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10$.
Đặt ${F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)$, khi đó : \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}( = 4)\) nên tập hợp các điểm $M$ là elip $\left( E \right)$ có 2 tiêu điểm là ${F_1};{F_2}$ . Gọi $\left( E \right)$ có dạng : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a\\{F_1}{F_2} = 4 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} \)
Vậy tập hợp các điểm $M$ là elip : \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\).
Cho các số phức \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} = - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\). Diện tích tam giác ABC bằng:
Ta có \({z_1} = 3 - 2i,\) \({z_2} = 1 + 4i\) và \({z_3} = - 1 + i\) có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy lần lượt là các điểm \(A,B,C\) nên \(A\left( {3; - 2} \right);\,\,B\left( {1;4} \right);\,\,C\left( { - 1;1} \right).\)
Khi đó ta có:
$\begin{array}{l}
AB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \\
AC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 + 2} \right)}^2}} = 5\\
BC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {13}
\end{array}$
Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(ABC\) ta có: \(p = \dfrac{{2\sqrt {10} + 5 + \sqrt {13} }}{2}.\)
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 9.\)
Cho số phức \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) với \(m \in \mathbb{R}.\) Gọi \(\left( P \right)\) là tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng
Ta có \(z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i\) được biểu diễn bởi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = {m^2} - m - 6\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {x^2} - 7x + 6\end{array} \right.\).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 7x + 6\)
Hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) với trục hoành là \({x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và trục hoành bằng
\(S = \int\limits_1^6 {\left| {{x^2} - 7x + 6} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^6 {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{125}}{6}\)
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) gọi \(M\) là điểm biểu diễn hình học của số phức \(z = - 1 + 2i\) và \(\alpha \) là góc lượng giác có tia đầu \(Ox,\) tia cuối \(OM.\) Tính \(\tan 2\alpha .\)
Ta có: \(z = - 1 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(M\left( { - 1;\,\,2} \right).\)
Ta có: \(\tan AOM = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{2}{1} = 2.\)
\( \Rightarrow \tan \alpha = - \tan AOM = - 2\) (hai góc bù nhau)
\( \Rightarrow \tan 2\alpha = \dfrac{{2\tan \alpha }}{{1 - {{\tan }^2}\alpha }} = \dfrac{{2.\left( { - 2} \right)}}{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{3}\)
