Momen của lực - Điều kiện cân bằng của một vật rắn có trục quay cố định

Thanh cân bằng => theo quy tắc momen, ta có: \({M_T} = {M_P}\) hay momen của lực căng bằng momen của trọng lực

Ta có:

Tâm quay O, lực F làm vật quay theo chiều kim đồng hồ trọng lực P làm vật quay ngược nhiều kim đồng hồ

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{M_F} = F.OB\\{M_P} = P.OG\end{array} \right.\)

Mặt khác: \(AG = GB = \frac{1}{2}AB = 2OB \to OB = OG = \frac{1}{4}AB\)

+ Thanh cân bằng, áp dụng quy tắc momen, ta có:

\(\begin{array}{l}{M_F} = {M_P} \leftrightarrow F.OB = P.OG\\ \leftrightarrow F = mg \leftrightarrow 40 = m.10 \to m = 4kg\end{array}\)

Ta có:

$AO = 2m, AB = 9m, BG = 6m$

$m = 30kg, F = 100N$

+ Thanh cân bằng và tâm quay tại O, theo quy tắc momen, ta có: \({M_A} = {M_G} + {M_B}\)(1)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{M_A} = {m_A}g.AO\\{M_G} = mg.OG\\{M_B} = F.OB\end{array} \right.\)

thay vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}{m_A}g.AO = mg.OG + F.OB\\ \to {m_A} = \frac{{mg.OG + F.OB}}{{g.AO}} = \frac{{30.10.1 + 100.(6 + 1)}}{{10.2}} = 50kg\end{array}\)

+ Lực tác dụng vào O:

\(\begin{array}{l}N = {P_A} + P + F = {m_A}g + mg + F\\ = 50.10 + 30.10 + 100 = 900N\end{array}\)

Ta có:

m = 60kg, AB = 1,5m, GB = 1,2m

Tâm quay tại A

Cánh tay đòn của lực F: \(AH = AB.c{\rm{os}}\alpha \)

Cánh tay đòn của lực P: \(AI = AG.c{\rm{os}}\alpha \)

+ Theo quy tắc momen, ta có: \({M_P} = {M_F}\)(1)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}{M_P} = P.AI = P.AG.c{\rm{os}}\alpha \\{M_F} = F.AH = F.AB.c{\rm{os}}\alpha \end{array} \right.\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra:

\(\begin{array}{l}P.AG.c{\rm{os}}\alpha  = F.AB.c{\rm{os}}\alpha \\ \leftrightarrow mg.AG = F.AB\\ \to F = \frac{{mg.AG}}{{AB}} = \frac{{60.10.(1,5 - 1,2)}}{{1,5}} = 120N\end{array}\)

+ Áp dụng quy tăc momen lực với trục quay qua B, ta có:

\({M_F} = {M_T}\)

+ Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{M_F} = F.AB\\{M_T} = T.AB.\sin \alpha \end{array} \right.\)

ta suy ra:

\(\begin{array}{l}F.AB = T.AB.sin{30^0}\\ \to T = \frac{F}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{100}}{{\sin {{30}^0}}} = 200N\end{array}\)

+ Áp dụng quy tắc momen, ta có:\({M_T} = {M_P}\)

+ Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{M_T} = T.AB.c{\rm{os}}\alpha \\{M_P} = P.AG.c{\rm{os}}\alpha \end{array} \right.\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}T.AB.c{\rm{os}}\alpha {\rm{ = P}}{\rm{.AG}}{\rm{.cos}}\alpha \\ \to {\rm{T}}{\rm{.AB = P}}{\rm{.}}\frac{{AB}}{3} \to T = \frac{P}{3} = \frac{{150}}{3} = 50N\end{array}\)

Ta có, 2 lực ở hai bên so với trục quay

Thước không chuyển động, nên:

+ Áp dụng quy tắc momen, ta có: \({M_{{F_1}}} = {M_{{F_2}}}\)

+ Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{M_{{F_1}}} = {F_1}.AO\\{M_{{F_2}}} = {F_2}.BO\end{array} \right.\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}{F_1}.AO = {F_2}.BO\\ \to {F_2} = \frac{{{F_1}.AO}}{{BO}} = \frac{{4.0,8}}{{0,2}} = 16N\end{array}\)

Và \(\overrightarrow {{F_2}}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow {{F_1}} \)

Ta có:

Xét tâm quay tại A, ta có

+ Áp dụng quy tắc momen, ta có: \({M_P} = {M_T}\)

+ Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}{M_P} = P.AO.c{\rm{os}}\alpha  = P.\frac{{AB}}{2}.c{\rm{os}}\alpha \\{M_T} = T.AB.\sin \alpha \end{array} \right.\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}P.\frac{{AB}}{2}{\rm{cos}}\alpha {\rm{ = T}}{\rm{.AB}}{\rm{.}}\sin \alpha \\ \to T = 0,5P.cot\alpha \end{array}\)

Theo phương ngang, để thanh cân bằng thì

\(\begin{array}{l}{F_{m{\rm{s}}}} \le T \leftrightarrow \mu mg \le 0,5mg.\cot \alpha \\ \to \cot \alpha  \ge \sqrt 3  \to \alpha  \ge {30^0}\end{array}\)

Gọi “đĩa cân bên này” là đĩa cân 1, “đĩa cân bên kia” là đĩa cân 2; \({P_x}\) là trọng lượng của vật cần cân.

Áp dụng quy tắc momen, ta có:

Khi cân lần 1: \({P_1}{l_1} = {P_x}{l_2} \to {m_1}{l_1} = {m_x}{l_2}\) (1)

Khi cân lần 2: \({P_x}{l_1} = {P_2}{l_2} \to {m_x}{l_1} = {m_2}{l_2}\) (2)

Lấy (1) chia cho (2), ta được:

\(\frac{{{m_1}}}{{{m_x}}} = \frac{{{m_x}}}{{{m_2}}} \to {m_x} = \sqrt {{m_1}{m_2}}  = \sqrt {40.44,1}  = 42g\)

+ Các lực tác dụng lên bán cầu gồm: trọng lực \(\overrightarrow P \) (bán cầu), trọng lực \(\overrightarrow p \) (vật nhỏ), phản lực \(\overrightarrow Q \) (tại điểm tiếp xúc A)

+ Áp dụng quy tắc momen lực đối với trục quay qua O, ta có:

\({M_P} = {M_p}\) (vì \(\overrightarrow Q \) có giá đi qua trục quay tại A nên \({M_Q} = 0\))

+ Mặt khác, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{M_P} = P.OG.\sin \alpha \\{M_p} = p.R.c{\rm{os}}\alpha \end{array} \right.\)

=> Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}P.OG.\sin \alpha  = p.R.c{\rm{os}}\alpha \\ \leftrightarrow Mg.\frac{{3R}}{8}\sin \alpha  = mgRc{\rm{os}}\alpha \\ \to {\rm{M}}\frac{{3}}{8}\sin \alpha  = mc{\rm{os}}\alpha \\ \to {\rm{tan}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{8m}}{{3M}} = \frac{{8.7,5}}{{3.100}} = 0,2\\ \to \alpha  = 11,{31^0}\end{array}\)

+ Các lực tác dụng lên xe gồm: trọng lực \(\overrightarrow P \) , phản lực \(\overrightarrow Q \), lực tác dụng \(\overrightarrow F \) của gió.

+ Khi xe bắt đầu lật, theo quy tắc momen lực đối với trục qua hai bánh xe, ta có:

\({M_{\overrightarrow P }} = {M_{\overrightarrow F }}\)  (vì \(\overrightarrow Q \) có giá đi qua trục quay nên \({M_{\overrightarrow Q }} = 0\))

+ Mặt khác, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{M_{\overrightarrow P }} = P{\rm{a}}\\{M_{\overrightarrow F }} = Fb\end{array} \right.\)

Ta suy ra, \(F{\rm{a}} = Fb \to F = \frac{a}{b}P = \frac{a}{b}mg\)

Vì \(F = pS = \rho S{V^2} = \rho 2bl{V^2}\)

Ta suy ra:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{b}mg = 2\rho {V^2}bl\\ \to V = \frac{1}{b}\sqrt {\frac{{amg}}{{2\rho l}}}  = \frac{1}{{1,2}}\sqrt {\frac{{1.10000.10}}{{2.1,3.8}}}  = 58m/s\end{array}\)

=>Vận tốc của gió để xe bị lật ngã là \(V \ge 58m/s\)

Hình vẽ biểu diễn các lực tác dụng vào vai người. Gọi O là điểm đặt của vai.

Trọng lượng của gạo và lúa là: \(\left\{ \begin{array}{l}{P_1} = 150N\\{P_2} = 100N\end{array} \right.\)

Ta có: \({d_1} + {d_2} = 1,5m\,\,\,\left( 1 \right)\)

Để đòn gánh cân bằng nằm ngang thì:

\({P_1}{d_1} = {P_2}{d_2} \Leftrightarrow 150.{d_1} = 100{d_2} \Leftrightarrow 150{d_1} - 100{d_2} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1} = 0,6m\\{d_2} = 0,9m\end{array} \right.\)

Vậy vai đặt ở vị trí cách đầu gánh thúng lúa 0,9m và cách đầu gánh thúng gạo 0,6m.