Tích phân (Khái niệm và tính chất)

Ta có \(f\left( x \right)=a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+b\Rightarrow f\left( 1 \right)=a.\cos \frac{\pi }{2}+b=1\Rightarrow b=1.\)

Và \(\int\limits_{0}^{3}{\left[ a\cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)+1 \right]\,\text{d}x}=\left. \left( \frac{2a}{\pi }\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right)+x \right) \right|_{0}^{3}=\frac{2a}{\pi }.\sin \frac{3\pi }{2}+3=-\frac{2a}{\pi }+3=5\Rightarrow a=-\,\pi .\)

Đặt \(F\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=x\sin \left( \pi x \right) \) \(\Leftrightarrow F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)=x\sin \left( \pi x \right) \) \(\Leftrightarrow F\left( {{x}^{2}} \right)=F\left( 0 \right)+x\sin \left( \pi x \right)\)

Lấy đạo hàm hai vế ta có

\(\begin{align} \left( F\left( {{x}^{2}} \right) \right)'=\sin \left( \pi x \right)+\pi x\cos \left( \pi x \right)+\left( F\left( 0 \right) \right)' \\  \Leftrightarrow 2xf\left( {{x}^{2}} \right)=\sin \left( \pi x \right)+\pi x\cos \left( \pi x \right) \\ \end{align}\)

Thay \(x=2\) ta có \(2.2.f\left( 4 \right)=\sin \left( 2\pi  \right)+2\pi \cos \left( 2\pi  \right) \) \(\Leftrightarrow 4f\left( 4 \right)=2\pi \Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\dfrac{\pi }{2}\)

\(\int\limits_1^5 {\left( {2.f\left( x \right)} \right)} dx = 6 \Rightarrow \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} dx = 3\)

\(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} dx =  - 2 + 3 = 1\).

Ta có: \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx}  = 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx - \int\limits_0^2 {1dx = 2.3 - 2 = 4} } \)

Ta có: \(\int {\left( {3{x^2} - 2} \right)dx = {x^3} - 2x + C} \)

Mà \(F\left( 0 \right) = 2\) nên \(C = 2\)

Khi đó với \(x < 1\) ta có \(F\left( x \right) = {x^3} - 2x + 2\)

Ta có: \(F\left( { - 1} \right) = 3\)

Mặt khác: \(\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx = F\left( 1 \right) - F\left( { - 1} \right) =  - 2} } \) \( \Rightarrow F\left( 1 \right) =  - 2 + 3 = 1\)

 \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = \int\limits_1^2 {\left( {2x - 1} \right)dx = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = 2} } \) \( \Rightarrow F\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\)

Vậy \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) = 3 + 2.3 = 9\)

Ta có $\int\limits_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_b^c {f\left( x \right){\rm{d}}x}  \ne \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\forall b\in \left[ {a;c} \right]\) đúng nên A đúng.

Nếu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\) thì \(f\left( x \right)\) chưa chắc không âm trên \(\left[ {a;b} \right]\) nên B sai.

\(\int {xdx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} + C\) nên C sai.

Nếu \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(\sqrt {F\left( x \right)} \) không phải là nguyên hàm của \(\sqrt {f\left( x \right)} \) nên D sai.

Đáp án A: \(\int\limits_{ - 1}^1 {dx}  = \left. x \right|_{ - 1}^1 = 1 - \left( { - 1} \right) = 2\) nên A sai.

Đáp án B: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  \ne \int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right)dx} \) nên B sai.

Đáp án C: Nếu \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge 0\) đúng nên C đúng.

Đáp án D: Nếu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = 0\) thì \(f\left( x \right) = 0\) là sai, chẳng hạn \(\int\limits_{ - 1}^1 {2xdx}  = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^1 = 1 - {\left( { - 1} \right)^2} = 0\) và \(2x \ne 0\).

$I = \int\limits_0^1 {f'(x)dx} {\rm{\;}} = f(\left. {x)} \right|_0^1 = f(1) - f(0) = 2$

Ta có $\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} $

Suy ra $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t}  =  - \,2 - 1 =  - \,3.$ 

Vậy $I = 2\,\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2.4 - \left( { - \,3} \right) = 11.$

Ta có: \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\sin tdt}  = \left. { - \cos t} \right|_1^x =  - \cos x + \cos 1 \Rightarrow F'\left( x \right) = \sin x\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \int\limits_0^x {3{t^2}dt}  = \left. {{t^3}} \right|_0^x = {x^3}\) suy ra \(f\left( x \right) = {x^3}\).

Mà hàm số \(y = {x^3}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên cũng đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right]\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 8\).

Ta có nhận xét nhanh:

Đáp án A: Vì \({x^3} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {{x^3}dx}  \ge 0\) hay A đúng.

Đáp án B: Vì \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}  = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1 < \dfrac{\pi }{2}\) nên B sai.

Đáp án C: Vì \({x^2} \ge 0,\forall x\) nên \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}dx}  \ge 0\) nên C đúng.

Đáp án D: Vì \(x \ge \sin x\) với mọi \(x \in \left[ {1;2} \right]\) nên \(\int\limits_1^2 {xdx}  \ge \int\limits_1^2 {\sin xdx}  \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left( {x - \sin x} \right)dx}  \ge 0\) hay D đúng.

Đáp án A: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án B: sai vì \(x\) không phải hằng số nên không đưa được ra ngoài dấu tích phân.

Đáp án C: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án D: đúng theo tính chất tích phân.

Ta có: $\int_1^4 {f'(x)dx = 17} {\rm{\;}} \Leftrightarrow f(\left. {x)} \right|_1^4 = 17 \Rightarrow f(4) - f(1) = 17 \Leftrightarrow f(4) - 2 = 17 \Leftrightarrow f(4) = 19$

$\int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx}  = \left. {f\left( x \right)} \right|_a^b = f\left( b \right) - f\left( a \right) = 3\sqrt 5  \Rightarrow 5 - f\left( a \right) = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow f\left( a \right) = 5 - 3\sqrt 5  = \sqrt 5 \left( {\sqrt 5  - 3} \right)$

$I = \int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {2f(x) - 1} \right]dx}  = 2\int\limits_{ - 2}^1 {f(x)dx - } \int\limits_{ - 2}^1 {dx}  = 2.3 - \left. x \right|_{ - 2}^1 = 6 - 3 = 3$

Ta có $I = \int\limits_a^c {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  + \int\limits_b^c {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  - \int\limits_c^b {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  = 5 - 1 = 4.$

Ta có:

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  = a - b.$

Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x}  = 5 + 2 = 7.$