Tập hợp Q các số hữu tỉ

Ta có: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\).

Do đó \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}\) suy ra A đúng.

Ta có: \(3 \in \mathbb{Q}\) nên A đúng.

\(\dfrac{5}{3} \in \mathbb{Q}\) nhưng \(\dfrac{5}{3} \notin \mathbb{Z}\) nên B sai.

\(\dfrac{0}{3} \in \mathbb{Q}\) nên C đúng.

\(\dfrac{1}{2} \in \mathbb{Q};\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\) nên D đúng.

Ta có: \(\dfrac{{11}}{{13}} > 0\); \( - \dfrac{{ - 1\,2}}{{15}} = \dfrac{{12}}{{15}} > 0;\) \(\dfrac{{ - \,5}}{{ - 7}} = \dfrac{5}{7} > 0;\) \( - \dfrac{2}{{15}} < 0\)

Vậy số hữu tỉ âm là \( - \dfrac{2}{{15}}\).

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\dfrac{a}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0.\)

+ Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm \(0\) đến điểm \(1\)) thành \(2\) phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng \(\dfrac{1}{2}\) đơn vị cũ.

+ Số \(\dfrac{3}{2}\) được biểu diễn bởi điểm \(M\) nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một đoạn bằng \(3\) đơn vị mới.

Ta có: \(\dfrac{4}{{10}} = \dfrac{{4:2}}{{10:2}} = \dfrac{2}{5}\);

\( - \dfrac{6}{{15}} = \dfrac{{ - 6}}{{15}} = \dfrac{{ - 6:3}}{{15:3}} = \dfrac{{ - 2}}{5} \ne \dfrac{2}{5};\)

\( - \dfrac{{ - 4}}{{10}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{{4:2}}{{10:2}} = \dfrac{2}{5};\)

\(\dfrac{{ - 6}}{{ - 15}} = \dfrac{6}{{15}} = \dfrac{{6:3}}{{15:3}} = \dfrac{2}{5}\).

Vậy phân số không bằng phân số \(\dfrac{2}{5}\) là \( - \dfrac{6}{{15}}\).

Ta có: \( - 1 = \dfrac{{ - 13}}{{13}};0 = \dfrac{0}{{13}}\)

Vì \( - 15 <  - 13 <  - 11 <  - 9 < 0 < 4 < 9\)  

nên \(\dfrac{{ - 15}}{{13}} < \dfrac{{ - 13}}{{13}} < \dfrac{{ - 11}}{{13}} < \dfrac{{ - 9}}{{13}} < \dfrac{0}{{13}} < \dfrac{4}{{13}} < \dfrac{9}{{13}}\) hay \(\dfrac{{ - 15}}{{13}} <  - 1 < \dfrac{{ - 11}}{{13}} < \dfrac{{ - 9}}{{13}} < 0 < \dfrac{4}{{13}} < \dfrac{9}{{13}}\).

Phần bù với \(1\) của các số \(\dfrac{5}{6};\dfrac{{11}}{{12}};\dfrac{{25}}{{26}};\dfrac{{29}}{{30}};\dfrac{8}{9}\) lần lượt là \(\dfrac{1}{6};\,\dfrac{1}{{12}};\dfrac{1}{{26}};\dfrac{1}{{30}};\dfrac{1}{9}\)

Mà \(30 > 26 > 12 > 9 > 6\) nên \(\dfrac{1}{{30}} < \dfrac{1}{{26}} < \dfrac{1}{{12}} < \dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{6}\)

Suy ra \(\dfrac{{29}}{{30}} > \dfrac{{25}}{{26}} > \dfrac{{11}}{{12}} > \dfrac{8}{9} > \dfrac{5}{6}\)

Vậy số hữu tỉ nhỏ nhất là: \(\dfrac{5}{6}\).

Ta có: \(a = \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{{4.7}}{{15.7}} = \dfrac{{28}}{{105}}\);

\(b =  - \dfrac{{ - 8}}{{21}} = \dfrac{8}{{21}} = \dfrac{{8.5}}{{21.5}} = \dfrac{{40}}{{105}}\) 

Vì \(28 < 40 \Rightarrow \dfrac{{28}}{{105}} < \dfrac{{40}}{{105}}\) hay \(a < b\).

Ta có: \(x = \dfrac{{2020}}{{2021}} < \dfrac{{2021}}{{2021}} = 1\) hay \(x < 1\);

\(y = \dfrac{{1000}}{{999}} > \dfrac{{999}}{{999}} = 1\) hay \(y > 1\)

Từ đó suy ra \(y > 1 > x\) hay \(y > x\).

Ta có: \(2,5 = \dfrac{{25}}{{10}} = \dfrac{{25:5}}{{10:5}} = \dfrac{5}{2}\);

\(\dfrac{{10}}{4} = \dfrac{{10:2}}{{4:2}} = \dfrac{5}{2}\);

\(\dfrac{6}{{20}} = \dfrac{{6:2}}{{20:2}} = \dfrac{3}{{10}};\)

\(0,3 = \dfrac{3}{{10}}\).

Suy ra \(\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{6}{{20}} = 0,3\) và \(2,5 = \dfrac{{10}}{4}\).

Vậy các số: \(\dfrac{3}{{10}}\); \(2,5\); \(\dfrac{{10}}{4}\); \(\dfrac{6}{{20}};0,3\) được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt trên cùng một trục số.

Ta có: \(\dfrac{{14}}{{22}} = \dfrac{{14:2}}{{22:2}} = \dfrac{7}{{11}};\)

\(\dfrac{7}{{ - 11}} = \dfrac{{ - 7}}{{11}} \ne \dfrac{7}{{11}};\)

\(\dfrac{{21}}{{ - 33}} = \dfrac{{ - 21}}{{33}} = \dfrac{{ - 21:3}}{{33:3}} = \dfrac{{ - 7}}{{11}} \ne \dfrac{7}{{11}}\);

\(\dfrac{{28}}{{44}} = \dfrac{{28:4}}{{44:4}} = \dfrac{7}{{11}}\);

\(\dfrac{{77}}{{121}} = \dfrac{{77:11}}{{121:11}} = \dfrac{7}{{11}}\);

\(\dfrac{{ - 55}}{{35}} = \dfrac{{ - 55:5}}{{35:5}} = \dfrac{{ - 11}}{7} \ne \dfrac{7}{{11}}\).

Vậy có ba phân số bằng phân số \(\dfrac{7}{{11}}\) là: \(\dfrac{{14}}{{22}};\dfrac{{28}}{{44}};\dfrac{{77}}{{121}}\).

Để số hữu tỉ \(x = \dfrac{{2a - 6}}{3}\) là số nguyên dương thì \(2a - 6 > 0\) và \(\left( {2a - 6} \right) \vdots 3\).

Do \(\left( {2a - 6} \right) \vdots 3\) nên \(2a - 6 = 3k\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);

Mặt khác \(2a - 6 > 0\) \( \Rightarrow 3k > 0\) \( \Rightarrow k > 0\,\,(k \in \mathbb{Z})\) tức là \(k \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \(a = \dfrac{{6 + 3k}}{2}\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thì \(x\) là số nguyên dương.

Vì số hữu tỉ \(0\) không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm nên để \(y = \dfrac{{9 - 12a}}{{2020}}\) không là số dương và cũng không là số âm thì \(y = 0\)  \( \Rightarrow \dfrac{{9 - 12a}}{{2020}} = 0\) \( \Rightarrow 9 - 12a = 0 \Rightarrow 12a = 9 \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}\).

Ta có: \({\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\)

Từ đó có đáp án A, B, D đúng và C sai.

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{{-10}}{{-22}} = \frac{5}{{11}}\\\frac{9}{{33}} = \frac{3}{{11}}\\\frac{-8}{{-11}} = \frac{8}{{11}}\\\frac{{35}}{{55}} = \frac{7}{{11}}\\ \Rightarrow -1<\frac{3}{{11}} < \frac{5}{{11}} < \frac{7}{{11}} < \frac{8}{{11}}<1\,\,\,\,\,\,Hay\,\,\,-1<\frac{9}{{33}} < \frac{{10}}{{22}} < \frac{{35}}{{55}} < \frac{8}{{11}}<1\end{array}\)

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta được: \(-1; \frac{9}{{33}};\frac{{-10}}{{-22}};\frac{{35}}{{55}};\frac{-8}{{-11}}; 1\)

Chọn D

(I) đúng

(II) sai vì số hữu tỉ dương chưa chắc lớn hơn số tự nhiên. Ví dụ: \(\dfrac{5}{4} < 2\) .

(III) sai vì số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

(IV) đúng vì mọi số nguyên dương đều là số hữu tỉ với mẫu số là \(1\).

Vậy có hai câu đúng.

Vì số hữu tỉ \(0\) không là số dương cũng không là số âm nên để \(y = \dfrac{{4a - 8}}{{ - 2021}}\)  không dương cũng không âm thì

\(y = 0\) suy ra \(\dfrac{{4a - 8}}{{ - 2021}} = 0\) \( \Rightarrow 4a - 8 = 0 \Rightarrow a = 2\) .

Để \(x = \dfrac{{a - 5}}{7}\) là số nguyên dương thì \(\left( {a - 5} \right) > 0\) và \(\left( {a - 5} \right) \vdots 7\)

Giả sử \(a - 5 = 7k\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) suy ra \(a = 5 + 7k\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Ta có:

\(\frac{{ - 15}}{{39}} = \frac{{ - 5}}{{13}}\); \(\frac{{ - 25}}{{65}} = \frac{{ - 5}}{{13}}\).

Mà: \(\frac{{ - 7}}{{ - 26}} = \frac{7}{{26}}\) nên các phân số \(\frac{{10}}{{26}};\frac{{35}}{{78}};\frac{{ - 7}}{{ - 26}}\) đều là các phân số dương

       \(\frac{{ - 5}}{{13}}\) là phân số âm

=> Các phân số \(\frac{{10}}{{26}};\frac{{35}}{{78}};\frac{{ - 7}}{{ - 26}}\) không bằng \(\frac{{ - 5}}{{13}}\)

Vậy có 2 phân số bằng phân số \(\frac{{ - 5}}{{13}}\) là: \(\frac{{ - 15}}{{39}}\); \(\frac{{ - 25}}{{65}}\)