Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ thị \((C)\). Tìm tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị \((C)\)
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận $x=-2;y=1$ nên giao \(2\) đường tiệm cận là \(I(-2;1)\).
Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}}\) có tiệm cận ngang \(y = 2\) và tiệm cận đứng \(x = 1\) thì \(a + c\) bằng
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } {\mkern 1mu} \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow y = \dfrac{a}{2}\) là tiệm cận ngang của ĐTHS
\( \Rightarrow \dfrac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4.\)
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} - {\kern 1pt} \dfrac{c}{2}} {\mkern 1mu} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} - {\kern 1pt} \dfrac{c}{2}} {\mkern 1mu} \dfrac{{ax + b}}{{2x + c}} = \infty \Rightarrow x = - \dfrac{c}{2}\) là tiệm cận đứng của ĐTHS
\( \Rightarrow - \dfrac{c}{2} = 1 \Rightarrow c = - {\mkern 1mu} 2.\)
Vậy tổng \(a + c = 4 - 2 = 2.\)
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2018}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( H \right).\) Số đường tiệm cận của \(\left( H \right)\) là:
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} \infty } \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Và \(\mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} y = \mathop {\lim }\limits_{x{\kern 1pt} \to {\kern 1pt} 2} \dfrac{{2018}}{{x - 2}} = \infty {\rm{\;}} \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(2\) đường tiệm cận.
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 2$ nên $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty $ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có \(1\) đường tiệm cận \(y = 0\).
Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\) có 1 TCN là \(y = 0\) và 2 TCĐ là \(x = \pm 3\) nên có \(3\) tiệm cận.
Đáp án C: Đồ thị hàm số có \(2\) tiệm cận là \(y = 1,x = 1\).
Đáp án D:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{|x|{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{-x{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }}=-1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} = 1\)
Đồ thị hàm số chỉ có \(2\) tiệm cận là \(y = \pm 1\).
Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4} \) là
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} y = + \infty .\)
Lại có
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - 1 + \sqrt {4{x^2} - 4} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} - 4} + 2x - 1} \right)\left( {\sqrt {4{x^2} - 4} - \left( {2x - 1} \right)} \right)}}{{\sqrt {4{x^2} - 4} - \left( {2x - 1} \right)}}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {4{x^2} - 4} \right) - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 4} - \left( {2x - 1} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4x - 5}}{{\sqrt {4{x^2} - 4} - \left( {2x - 1} \right)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\left( { - 4 + \dfrac{5}{x}} \right)}}{{ - x\left[ {\sqrt {4 - \dfrac{4}{{{x^2}}}} + \left( {2 - \dfrac{1}{x}} \right)} \right]}}\\ = \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt 4 + 2}} = - 1.}\end{array}\)
Vậy \(y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{2x + 3}}$ là:
Dễ dàng tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \dfrac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \dfrac{1}{2}$ do đó $y = \pm \dfrac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = 1$
$ \Rightarrow y = 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{x}{{ - x\sqrt {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1$
$ \Rightarrow y = - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}}$ là:
Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} - 16}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}}$
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{x + 4}} = + \infty \)
Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{x + 4}} = \frac{5}{8} \ne \infty \) nên x=4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số chỉ có $1$ tiệm cận đứng $x = - 4$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 3}}{{{x^2} + x - 2}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Dễ thấy đa thức dưới mẫu có hai nghiệm $x = 1$ và $x = - 2$ và hai nghiệm này đều không phải nghiệm của tử thức.
$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số đã cho có $2$ tiệm cận đứng.
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}$ là:
Đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận là
- Tiệm cận đứng $x = 2$
- Tiệm cận ngang $y = - 1$
Cho hàm số $y = \dfrac{{3x}}{{1 + 2x}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{3x}}{{1 + 2x}} = \dfrac{3}{2}\)
Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x}}{{1 + 2x}}$ là đường thẳng $y = \dfrac{3}{2}.$
Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào dưới đây nằm trên đường thẳng $d:y = x$?
Đáp án A có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 3;2} \right) \notin d$
Đáp án B có giao hai đường tiệm cận là $\left( {1;1} \right) \in d$
Đáp án C có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 2;2} \right) \notin d$
Đáp án D có giao hai đường tiệm cận là $\left( { - 3;0} \right) \notin d$
Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 1}}{{x + 1}}$ là:
Ta có: $y = \dfrac{{{x^2} - 3x - 1}}{{x + 1}} = x - 4 + \dfrac{3}{{x + 1}}$.
Do đó đường thẳng $y = x - 4$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
Tập xác định :\(D = \mathbb{R}\) .
\(\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} + \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{2 + 2}} = 1}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }}}\\{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4x + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + 4x + 3} + \sqrt {4{x^2} + 1} }} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4 + \dfrac{2}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}} - \sqrt {4 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }} \\= \dfrac{4}{{ - 2 - 2}} = - 1}\end{array}\)
Vậy, đồ thị hàm số \(y = \sqrt {4{x^2} + 4x + 3} - \sqrt {4{x^2} + 1} \) có $2$ tiệm cận ngang là \(y = 1, y = - 1\) .
Cho hàm số $y = \dfrac{{2mx + m}}{{x - 1}}\left( C \right).$. Với giá trị nào của $m \left({m\ne0}\right)$ thì đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng $8$?
$y=\dfrac{2mx+m}{x-1}\left| \begin{align}& \xrightarrow{TCD}x=1 \\ & \xrightarrow{TCN}y=2m \\ \end{align}\right.$
$S = 8 \Leftrightarrow \left| {2m} \right|.\left| 1 \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {2m} \right| = 8 \Leftrightarrow 2m = \pm 8 \Leftrightarrow m = \pm 4$
Cho hàm số $y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\left( C \right).$ Tất cả các giá trị của m để (C) có 3 đường tiệm cận là:
$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{m}{{{x^2}}}}} = 0 $
Suy ra $y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận $\Leftrightarrow $ Đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng
$ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $2$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \Delta ' > 0 \hfill \\ {2^2} - 2.2 + m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - m > 0 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Cho hàm số $y = \dfrac{{2{x^2} - 3{x} + m}}{{x - m}}$ . Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giá trị của tham số $m$ là:
Cách 1: Thử đáp án
Với $m = 0$ ta có $x = 0$ là nghiệm của đa thức $2{x^2} - 3{\text{x}}$ trên tử
$ \Rightarrow y = 2{\text{x}} - 3\left( {x \ne 0} \right)$ không có tiệm cận đứng.
Với $m = 1$ ta có $x = 1$ là nghiệm của đa thức $2{x^2} - 3{\text{x + 1}}$ trên tử
$ \Rightarrow y = 2{\text{x}} - 1\left( {x \ne 1} \right)$ không có tiệm cận đứng.
Cách 2: Chia đa thức
Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số
$ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0$ hoặc $m = 1$
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = m.\) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có duy nhất một tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}} = \dfrac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2}} = \dfrac{1}{{ - 1 + 2}} = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có TCN \(y = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}} = \dfrac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 2}} = \dfrac{1}{{m + 2}}\).
Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có duy nhất một tiệm cận ngang thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) hoặc là không xác định hoặc là bằng 1.
Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = - 1\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị thực của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + 1}}{{bx + c}}\,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Trong các số \(a,\,\,b\) và \(c\) có bao nhiêu số dương ?
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 2\) \( \Rightarrow - \dfrac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c = - 2b\)
TCN: \(y = 1 \Rightarrow \dfrac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\)
Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{ax + 1}}{{bx + c}}\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' > 0\,\,\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow ac - b > 0\\ \Leftrightarrow b.\left( { - 2b} \right) - b > 0\\ \Leftrightarrow - 2{b^2} - b > 0\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + b < 0\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < b < 0\\ \Rightarrow b < 0\\ \Rightarrow a < 0,c > 0\end{array}\)
Vậy trong ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số dương.
