Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - \infty \end{array}\)

Suy ra \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - 1\end{array}\)

Suy ra \(y = 1,\,\,y =  - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}} = \dfrac{1}{{2 - 1}} = 1\), do đó đồ thị hàm số có TCN \(y = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}} = 0\), do đó đồ thị hàm số có TCN \(y = 0\).

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) - 1}}\) là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 1.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt nên phương trình \(f\left( x \right) = 1\) có 4 nghiệm phân biệt. Suy ra đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng 6 đường tiệm cận.

ĐKXĐ: \(x \ge 1,\,\,f\left( x \right) \ne 0,\,\,f\left( x \right) \ne 1\).

\(g(x) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)}}\)

Nhận xét: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) là hàm số bậc ba, đồng thời, quan sát đồ thị ta thấy:

+) \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = {x_1}\,\,\left( {0 < {x_1} < 1} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\)(nghiệm đơn) và \(x = 2\)(nghiệm kép).

+) \(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(x = 1\)  (nghiệm đơn), \(x = {x_2}\,\,\left( {1 < {x_2} < 2} \right)\) (nghiệm đơn) và \(x = {x_3}\,\,\left( {{x_3} > 2} \right)\) (nghiệm đơn).

Khi đó hàm số \(y = g\left( x \right)\) được viết dưới dạng : \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x.\,a\left( {x - {x_1}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}.\,a\left( {x - 1} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)}}\)

Do đó, đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 đường tiệm cận đứng là: \(x = {x_2},\,\,x = 2,\,\,x = {x_3}.\)

+ Nếu $a = 0$ thì $y = \dfrac{1}{{x + 2}}$, đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng $x =  - 2$ và tiệm cận ngang $y = 0$ nên A, C sai.

+ Nếu $a \ne 0$ thì $y = ax + a + \dfrac{1}{{x + 2}}$ nên $y = ax + a$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Khi đó $y = ax + a \Leftrightarrow a\left( {x + 1} \right) - y = 0$ luôn đi qua điểm $\left( { - 1;0} \right)$ với mọi $a \ne 0$.

Bước 1: Tìm điều kiện để đồ thị có tiệm cận ngang.

Điều kiện \(a{x^2} + bx + 4 \ge 0\). Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì \(a > 0\). Khi đó, ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} } \right)\)\( =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2x + \sqrt {a{x^2} + bx + 4} } \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{(a - 4){x^2} + bx + 4}}{{\sqrt {a{x^2} + bx + 4}  - 2x}} =  - 1\)

Bước 2: Tìm a,b rồi tính \(2a - {b^3}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - 4 = 0}\\{\dfrac{b}{{ - \sqrt {a }-2 }} =  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(2a - {b^3} =  - 56\)