Bài toán lãi kép

Số tiền người đó có sau 6 tháng = 2 quý: ${T_1} = 100{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 104,04$ triệu.

Số tiền người đó có ngay sau khi gửi thêm $100$ triệu là: $104,04 + 100 = 204,04$ triệu.

Số tiền người đó có sau 1 năm = 4 quý nữa là: ${T_2} = 204,04{\left( {1 + 2\% } \right)^4} = 220$ triệu.

Số tiền bà Hoa rút sau 5 năm đầu là: $100{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 146,932$ triệu.

Số tiền lãi lần 1 là: $146,932 - 100 = 46,932$ triệu.

Số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: $146,932:2 = 73,466$ triệu

Số tiền và có sau 5 năm là: $73,466{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 107,946$ triệu.

Số tiền lãi lần 2 là: $107,946 - 73,466 = 34,480$ triệu.

Tổng số tiền lãi sau 2 lần là: $46,932 + 34,480 = 81,412$ triệu.

Áp dụng công thức \(P = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^n}\).

Giá trị ngôi nhà sau 10 năm là: \(P = {10^9}{\left( {1 + 0,05} \right)^5} = {10^9}.1,{05^5}\) đồng.

Sau khi chi tiêu mỗi thàng thì số tiền người sinh viên còn lại là 60% lương.

Trong 2 năm 2020 – 2021: số tiền có được là: \(0,6a.24\) (đồng).

Trong 2 năm 2022 – 2023: số tiền có được là: \(0,6a\left( {1 + 0,1} \right).24\) (đồng) 

Trong 2 năm 2024 – 2025: số tiền có được là: \(0,6a{\left( {1 + 0,1} \right)^2}.24\) (đồng) 

Trong 2 năm 2026 – 2027: số tiền có được là: \(0,6a{\left( {1 + 0,1} \right)^3}.24\) (đồng) 

Trong 2 năm 2028 – 2029: số tiền có được là: \(0,6a{\left( {1 + 0,1} \right)^4}.24\) (đồng) 

\( \Rightarrow \) Tổng số tiền người sinh viên có trong 10 năm là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,0,6a.24 + 0,6a\left( {1 + 0,1} \right).24 + 0,6a{\left( {1 + 0,1} \right)^2}.24 + 0,6a{\left( {1 + 0,1} \right)^3}.24 + 0,6a{\left( {1 + 0,1} \right)^4}.24\\ = 0,6a.24\left[ {1 + \left( {1 + 0,1} \right) + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^3} + {{\left( {1 + 0,1} \right)}^4}} \right]\\ = 14,4a\left( {1 + 1,1 + 1,{1^2} + 1,{1^3} + 1,{1^4}} \right)\\ = 14,4a.\dfrac{{1.\left( {1 - 1,{1^5}} \right)}}{{1 - 1,1}} = 87,91344a\end{array}\)

Để sau đúng 10 năm anh ta mua được căn hộ đó thì:

\(87,91344a = {10^9}.{\left( {1,05} \right)^5} \Leftrightarrow a = 14.517.000\) (đồng)

Gọi số tiền ông An gửi vào ngân hàng ACB và VietinBank lần lượt là : a, b (triệu đồng, \(0 < a,\,\,b < 320\))

\( \Rightarrow a + b = 320\)  (1)

Đổi 15 tháng = \(5\) quý.

Số tiền ông An nhận được từ ngân hàng ACB sau 15 tháng là:

\(a.{\left( {1 + 2,1\% } \right)^5} = 1,{021^5}a\) (triệu đồng)

Số tiền ông An nhận được từ ngân hàng VietinBank sau 9 tháng là:

\(b.{\left( {1 + 0,73\% } \right)^9} = 1,{0073^9}b\) (triệu đồng)

Vì tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là \(26670725,95\) đồng nên ta có phương trình:

\(1,{021^5}a + 1,{0073^9}b = 320 + 26,67072595\) (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 320\\1,{021^5}a + 1,{0073^9}b = 320 + 26,67072595\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 120\\b = 200\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy số tiền ông An gửi vào ngân hàng ACB và VietinBank lần lượt là \(120\) triệu đồng và \(200\) triệu đồng.

Gọi x: số tháng gửi với \(r = 0,7\% /\)tháng

y: số tháng gửi với \(r = 0,9\% /\)tháng

\( + )\) Tổng số tháng gửi tiết kiệm: \(x + 6 + y\) (tháng)

\( + )\) Theo đề bài ta có: \(\left[ {\left[ {5000000{{\left( {1 + 0,7\% } \right)}^x}} \right]{{\left( {1 + 1,15\% } \right)}^6}} \right]{\left( {1 + 0,9\% } \right)^y} = 5787710,707\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1,007} \right)^x}.{\left( {1,009} \right)^y} = 1,080790424\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1,009} \right)^y} = \dfrac{{1,080790424}}{{{{\left( {1,007} \right)}^x}}}\)

\( \Leftrightarrow y = {\log _{1,009}}\dfrac{{1,080790424}}{{{{\left( {1,007} \right)}^x}}} = f\left( x \right)\)

Nhập \(f\left( x \right)\) vào TABLE \(\left\{ \begin{array}{l}F\left( x \right) = {\log _{1,009}}\dfrac{{1,080790424}}{{{{\left( {1,007} \right)}^x}}}\\Start:1\\End:11\\Step:1\end{array} \right.\)

Khi đó bảng giá trị hiện ra x=6 thì y=3,9999.

\( + )\) Vì x, y nguyên \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 4\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Số tháng gửi tiết kiệm là:

\(  6 + 6 + 4 = 16\) (tháng)

Giá trị thiết bị sau 5 năm là: \(100{\left( {1 - 6\% } \right)^5}\) (triệu đồng).

Giả sử sau n năm nữa (tính từ năm thứ 6) thì giá trị thiết bị nhỏ hơn 50 triệu đồng ta có

\(\begin{array}{l}100{\left( {1 - 6\% } \right)^5}{\left( {1 - 10\% } \right)^n} < 50\\ \Leftrightarrow {\left( {1 - 10\% } \right)^n} < \dfrac{{50}}{{100{{\left( {1 - 6\% } \right)}^5}}}\\ \Leftrightarrow n > {\log _{1 - 10\% }}\dfrac{{50}}{{100{{\left( {1 - 6\% } \right)}^5}}}\\ \Leftrightarrow n > 3,64\end{array}\)

Vậy từ năm \(2021 + 5 + 4 = 2030\) thì giá trị thiết bị nhỏ hơn 50 triệu đồng.

Bước 1: Lập công thức tìm số tiền sau khi gửi n tháng

Gọi $a$ là số tiền hàng tháng ông Tân phải gửi vào ngân hàng, $r$ là lãi suất hàng tháng. Sau $n$ tháng số tiền cả gốc lẫn lãi là

$T_{n}=\dfrac{a}{r}(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]$

Bước 2: Tìm n

Suy ra $a=\dfrac{T_{n} \cdot r}{(1+r)\left[(1+r)^{n}-1\right]}=\dfrac{1000000000.0,5 \%}{(1+0,5 \%)\left[(1+0,5 \%)^{60}-1\right]}$$ \approx 14261500$ đồng.

Bước 1: Tính lãi suất loại kì hạn 12 tháng sau 10 năm

Theo phương thức lãi kép ta có số tiền ông A thực lĩnh sau 10 năm là:

Loại kỳ hạn 12 tháng với lãi suất là \(12\% /\) năm

\({P_{10}} = {P_0}{(1 + r)^{10}} = 100000000{(1 + 12\% )^{10}} \approx 310584820\) đồng.

Bước 2: Tính lãi suất loại kì hạn 1 tháng sau 10 năm

Loại kỳ hạn 1 tháng với lãi suất là \(1\% /\) tháng

\({P_{120}} = {P_0}{(1 + r)^{120}} = 100000000{(1 + 1\% )^{120}} \approx 330038690\) đồng.

Bước 3: Tính số tiền chênh lệch giữa hai loại kì hạn.

Số tiền gửi theo kỳ hạn 1 tháng có kết quả nhiều hơn kỳ hạn 1 năm là \({P_{120}} - {P_{10}} \approx 19454000\) đồng sau 10 năm.

Ta có số tiền người đó gửi ban đầu là \(a = 1000\) triệu đồng, lãi suất hàng tháng \(m = 0,005\); số tiền người đó rút ra hàng tháng là \(r = 10\) triệu đồng.

Sau tháng thứ nhất người đó thu được số tiền là \({T_1} = a(1 + m)\).

Đầu tháng thứ hai người đó có số tiền là \(a(1 + m) - r\).

Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là

\({T_2} = (a(1 + m) - r)(1 + m) = a{(1 + m)^2} - r(1 + m)\).

Đầu tháng thứ ba người đó có số tiền là \(a{(1 + m)^2} - r(1 + m) - r\).

Cuối tháng thứ ba người đó có số tiền là \({T_3} = a{(1 + m)^3} - r{(1 + m)^2} - r(1 + m)\).

Cứ như thế số tiền người đó có cuối tháng thứ \(n\) là

\({T_n} = a{(1 + m)^n}\)\( - \left[ {r{{(1 + m)}^{n - 1}} + r{{(1 + m)}^{n - 2}} +  \ldots  + r(1 + m)} \right]\)\( = a{(1 + m)^n} - r.\dfrac{{{{(1 + m)}^n} - (1 + m)}}{m}\)

Người đó rút hết tiền trong tài khoàn khi

\({T_n} - r \le 0\)\( \Leftrightarrow {T_n} \le 10 \Leftrightarrow a{(1 + m)^n} - r.\dfrac{{{{(1 + m)}^n} - (1 + m)}}{m} \le 10\)

thay số ta được 1000.1,005 \(^n - 10 \cdot \dfrac{{1,{{005}^n} - 1,005}}{{0,005}} \le 10 \Leftrightarrow 1,{005^n} \ge 2 \Leftrightarrow n \ge 138,975\).

Vậy sau 139 tháng thì người đó rút hết tiền.

Số tiền trả góp tháng là: \(4.6 = 24\) triệu

Áp dụng CT tính số tiền còn nợ sau N tháng ta có:

Số tiền còn nợ sau 6 tháng:

\(50{\left( {1 + 1\% } \right)^6} - \dfrac{4}{{1\% }}\left[ {{{\left( {1 + 1\% } \right)}^6} - 1} \right]\)

Người này muốn trả hết số tiền trên thì phải trả thêm 3% số tiền đó

Số tiền cần trả lúc này là:

\(\left\{ {50{{\left( {1 + 1\% } \right)}^6} - \dfrac{4}{{1\% }}\left[ {{{\left( {1 + 1\% } \right)}^6} - 1} \right]} \right\}.\left( {1 + 3\% } \right)\)

\( \approx 29,322\)(triệu đồng)

Vậy tổng số tiền người đó đã trả là:

\(24 + 29,322 = 53,322\)(triệu)