Câu hỏi:
2 năm trước
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất \(0,5\% /\) tháng. Kể từ lúc gửi sau mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi người đó rút 10 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi trong bao lâu kể từ ngày gửi người đó rút hết tiền trong tài khoản?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng:
139 tháng.
Ta có số tiền người đó gửi ban đầu là \(a = 1000\) triệu đồng, lãi suất hàng tháng \(m = 0,005\); số tiền người đó rút ra hàng tháng là \(r = 10\) triệu đồng.
Sau tháng thứ nhất người đó thu được số tiền là \({T_1} = a(1 + m)\).
Đầu tháng thứ hai người đó có số tiền là \(a(1 + m) - r\).
Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là
\({T_2} = (a(1 + m) - r)(1 + m) = a{(1 + m)^2} - r(1 + m)\).
Đầu tháng thứ ba người đó có số tiền là \(a{(1 + m)^2} - r(1 + m) - r\).
Cuối tháng thứ ba người đó có số tiền là \({T_3} = a{(1 + m)^3} - r{(1 + m)^2} - r(1 + m)\).
Cứ như thế số tiền người đó có cuối tháng thứ \(n\) là
\({T_n} = a{(1 + m)^n}\)\( - \left[ {r{{(1 + m)}^{n - 1}} + r{{(1 + m)}^{n - 2}} + \ldots + r(1 + m)} \right]\)\( = a{(1 + m)^n} - r.\dfrac{{{{(1 + m)}^n} - (1 + m)}}{m}\)
Người đó rút hết tiền trong tài khoàn khi
\({T_n} - r \le 0\)\( \Leftrightarrow {T_n} \le 10 \Leftrightarrow a{(1 + m)^n} - r.\dfrac{{{{(1 + m)}^n} - (1 + m)}}{m} \le 10\)
thay số ta được 1000.1,005 \(^n - 10 \cdot \dfrac{{1,{{005}^n} - 1,005}}{{0,005}} \le 10 \Leftrightarrow 1,{005^n} \ge 2 \Leftrightarrow n \ge 138,975\).
Vậy sau 139 tháng thì người đó rút hết tiền.
Hướng dẫn giải:
- Biểu diễn số tiền cuối tháng thứ nhất, đầu tháng thứ 2, cuối tháng thứ 2, đầu tháng thứ 3.
- Từ đó lập số tiền cuối tháng thứ n theo n.
- Người đó rút hết tiền trong tài khoàn khi \({T_n} - r \le 0\). Tìm n.
