Một anh sinh viên \({\rm{T}}\) nhập học đại học vào tháng 8 năm 2020. Bắt đầu từ tháng 9 năm 2020, cứ vào ngày mồng một hàng tháng anh vay ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định \(0,8\% /\) tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo. Vào ngày mồng một hàng tháng kể từ tháng 9 năm 2022 về sau anh không vay ngân hàng nữa và anh còn trả được cho ngân hàng 2 triệu đồng do việc làm thêm. Hỏi ngay sau ngày anh ra trường \((30/6/2024)\) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền?

Bước 1: Lập công thức tính tổng số tiền vay đến cuối tháng thứ n.

Cuối tháng thứ 1: \({T_1} = a + ar = a(1 + r)\).

Cuối tháng thứ \(2:{T_2} = {T_1} + a + \left( {{T_1} + a} \right) \cdot r\)\( = a \cdot {(1 + r)^2} + a \cdot (1 + r)\).

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng \(n:\)\({T_n} = a \cdot {(1 + r)^n} + a \cdot {(1 + r)^{n - 1}}\)\( +  \ldots  + a \cdot (1 + r)\).

Suy ra \({T_n} = a \cdot (1 + r) \cdot \dfrac{{{{(1 + r)}^n} - 1}}{r}\).

Bước 2: Tính tổng số tiền vay đến cuối tháng \(8/2022\)

Anh sinh viên vay hàng tháng là \(a = 3\) triệu đồng từ tháng \(9/2020\) đến hết tháng 8/2022, tổng cộng 24 tháng.

Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng \(8/2022\) là

\({T_{24}} = 3 \cdot (1 + 0,8\% ) \cdot \dfrac{{{{(1 + 0,8\% )}^{24}} - 1}}{{0,8\% }}\)\( \simeq 79,662\) triệu.

Bước 3: Tính số tiền còn nợ từ tháng \(9/2022\) đến tháng \(6/2024\)

Tính từ cuối tháng 8/2022 anh sinh viên \({\rm{T}}\) thiếu ngân hàng \(A = 79,662\) và bắt đầu trả hàng tháng \(m = 2\) triệu từ tháng \(9/2022\) đến tháng \(6/2024\), tổng cộng được 22 tháng.

Đầu tháng 9/2022: còn nợ \(A - m = 79,662 - 2 = 77,662\) triệu.

Cuối tháng 9/2022: tiền nợ có lãi đến cuối tháng. \({T_1} = 77,662(r + 1)\).

Đầu tháng \(10/2022\) sau khi trả nợ \(m\) thì còn nợ \(77,662(r + 1) - m\).

Cuối tháng 10/2022: còn nợ \({T_2} = [(77,662)(r + 1) - m](1 + r)\)\( = 77,662{(1 + r)^2} - m(1 + r)\).

Cuối tháng \(11/2022\) : còn nợ \({T_3} = 77,662{(1 + r)^3} - m{(1 + r)^2}\)\( - m(1 + r)\).

Tiếp tục như vậy đến cuối tháng \(6/2024\) còn nợ \({T_{22}} = 77,662{(1 + r)^{22}} - m{(1 + r)^{21}}\)\( - m{(1 + r)^{20}} -  \ldots  - m(1 + r)\)

\( = 77,662{(1 + r)^{22}}\)\( - m \cdot (1 + r)\dfrac{{{{(1 + r)}^{21}} - 1}}{r}\)

\( = 77,662 \cdot {(1 + 0,8\% )^{22}}\)\( - 2 \cdot (1 + 0,8\% ) \cdot \dfrac{{{{(1 + 0,8\% )}^{21}} - 1}}{{0,8\% }}\)\( \simeq 46,64\) triệu đồng