Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ gần như hết (còn nhưng không đủ dùng cho năm tới)? Giả thiết nước này không nhập khẩu dầu từ nước khác.
Gọi A là trữ lượng dầu, x là lượng dầu sử dụng năm đầu tiên ta có \(A = 100x\)
Qua năm thứ hai trữ lượng dầu tiêu thụ là \(x\left( {1 + r} \right)\)
Qua năm thứ ba trữ lượng dầu tiêu thụ là \(x{\left( {1 + r} \right)^2}\)
…
Qua năm thứ n trữ lượng dầu tiêu thụ là \(x{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}}\)
Vậy tổng lượng dầu tiêu thụ trong n năm là:
$x + x\left( {1 + r} \right) + x{\left( {1 + r} \right)^2} + .... + x{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} $ $= \dfrac{{x\left[ {1 - {{\left( {1 + r} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \left( {1 + r} \right)}}$
Do đó ta có phương trình
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x\left[ {1 - {{\left( {1 + r} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \left( {1 + r} \right)}} = 100x\\ \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} - 1 = 100r\\ \Leftrightarrow n = {\log _{1 + r}}\left( {100r + 1} \right)\\ \Leftrightarrow n \approx 41,035\end{array}\)
Vậy sau 41 năm, trừ lượng dầu gần như sẽ hết và không đủ dùng cho năm tới.
Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất không đổi là 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép). Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút ra 500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải gửi vào ngân hàng (làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu triệu đồng?
Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là x (triệu đồng), số tiền người đó nhận được sau 3 năm là: \(x{\left( {1 + 6\% } \right)^3}\) (triệu đồng).
Để sau 3 năm người đó rút được 500 triệu đồng thì số tiền nhận được sau 3 năm (cả gốc và lãi) phải không nhỏ hơn 500 triệu đồng.
Khi đó ta có \(x{\left( {1 + 6\% } \right)^3} \ge 500 \Leftrightarrow x \ge 420\) (triệu đồng).
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng \(100\) triệu đồng với kì hạn \(3\) tháng, lãi suất \(2\% \) một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng \(6\) tháng, người đó gửi thêm \(100\) triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau đúng \(1\) năm tính từ ngày gửi tiền là bao nhiêu?
Số tiền người đó nhận được sau \(6\) tháng đầu (ứng với \(2\) kì hạn) là: .
Sau khi gửi thêm \(100\) triệu, người đó gửi thêm \(6\) tháng (ứng với \(2\) kì hạn) nên:
Số tiền người đó nhận được sau \(1\) năm là: \({T_2} = \left( {104,04 + 100} \right).{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 212,283216\) triệu đồng.
Hay người đó nhận được \(212.283.216\) triệu đồng.
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Trong năm \(2019\), diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là \(800ha\). Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng \(6\% \) so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm \(2019\), năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên \(1400ha\)?
Trong năm \(2019\), diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là \(800ha\).
Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng \(6\% \) so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước nên sau \(n\)(năm) diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là \(800.{\left( {1 + 6\% } \right)^n}\) với \(n \in \mathbb{N}\).
Ta có: \(800.{\left( {1 + 6\% } \right)^n} \ge 1400 \Leftrightarrow 1,{06^n} \ge \dfrac{7}{4}\)\( \Leftrightarrow n \ge {\log _{1,06}}\dfrac{7}{4} \approx 9,60402\).
Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên giá trị nhỏ nhất thỏa mãn là \(n = 10\).
Vậy kể từ sau năm \(2019\), năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên \(1400ha\) là năm \(2029\)
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất mỗi tháng là $r$, gửi theo hình thức lãi kép không kì hạn. Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau $N$ kì hạn là:
Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau $N$ kì hạn là: $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$
Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất là $r\% $ mỗi tháng. Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau $5$ tháng là:
Vì lãi suất là $r\% $ mỗi tháng nên định kì là $1$ tháng, do đó số kì hạn là $N = 5$.
Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau $5$ tháng là: $T = A{\left( {1 + r\% } \right)^5}$.
Bạn An gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là $1.000.000$ đồng không kì hạn với lãi suất là $0,65\% $ mỗi tháng. Tính số tiền bạn An nhận được sau $2$ năm?
Ta có:
$\begin{array}{l}A = 1.000.000\\r = 0,65\% \\N = 2.12 = 24\end{array}$
Vậy $T = A{\left( {1 + r} \right)^N} = 1.000.000{\left( {1 + 0,65:100} \right)^{24}} = 1.168.236$ (đồng).
Một người gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất $r$ mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức có kì hạn $m$ tháng. Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó có sau $N$ kì hạn là:
Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó có sau $N$ kì hạn là: $T = A{\left( {1 + mr} \right)^N}$.
Một người gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất $r\% $ mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức có kì hạn $3$ tháng. Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó có sau $2$ năm là:
Ta có $m = 3$, mỗi kì hạn là $3$ tháng nên $2$ năm có $2.12:3 = 8$ kì hạn.
Vậy $T = A{\left( {1 + 3.r\% } \right)^8}$.
Một người gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng, lãi suất $r\% $ mỗi tháng theo hình thức lãi kép, gửi theo phương thức có kì hạn $1$ năm. Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó có sau $2$ năm là:
Kì hạn $1$ năm $ = 12$ tháng nên $m = 12$, số kì hạn là $N = 2:1 = 2$ kì hạn.
Vậy $T = A{\left( {1 + 12.r\% } \right)^2}$.
Bạn An gửi vào ngân hàng số tiền là $2.000.000$ đồng với kì hạn $3$ tháng và lãi suất là $0,48\% $ mỗi tháng. Tính số tiền An có được sau $3$ năm.
Ta có:
$\begin{array}{l}A = 2.000.000\\r = 0,48\% \\m = 3\\N = \dfrac{{3.12}}{3} = 12\end{array}$
Vậy $T = A{\left( {1 + mr} \right)^N} = 2.000.000{\left( {1 + 3.0,48\% } \right)^{12}} = 2.374.329$ (đồng).
Một người gửi vào ngân hàng số tiền $A$ đồng đầu mỗi tháng với lãi suất mỗi tháng là $r$. Công thức tính số tiền người đó có trong ngân hàng sau $N$ tháng (cuối tháng thứ $N$) là:
Công thức tính số tiền người đó có trong ngân hàng sau $N$ tháng là: $T = \dfrac{{A\left( {1 + r} \right)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]$
Một người muốn gửi tiền vào ngân hàng mỗi tháng một số tiền cố định, lãi suất mỗi tháng là $r$. Để có số tiền $T$ vào cuối tháng thứ $N$ thì số tiền mỗi tháng phải gửi vào là:
Từ công thức $T = \dfrac{{A\left( {1 + r} \right)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]$ ta suy ra:
Số tiền mỗi tháng người đó phải gửi là: $A = \dfrac{{Tr}}{{\left( {1 + r} \right)\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]}}$
Đầu mỗi tháng, chị Mai gửi vào ngân hàng $3.000.000$ đồng với lãi suất $0,5\% $ mỗi tháng. Hỏi đến cuối tháng thứ $10$ chị Mai có tất cả bao nhiêu tiền trong ngân hàng?
Ta có:
$\begin{array}{l}A = 3.000.000\\r = 0,5\% \\N = 10\end{array}$
Vậy $T = \dfrac{{A\left( {1 + r} \right)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right] = \dfrac{{3.000.000\left( {1 + 0,5\% } \right)}}{{0,5\% }}\left[ {{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^{10}} - 1} \right] = 30.837.500$ đồng.
Bạn Lan muốn có $10.000.000$ sau $15$ tháng thì mỗi tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền, biết lãi suất ngân hàng là $0,6\% $ mỗi tháng.
Từ công thức $T = \dfrac{{A\left( {1 + r} \right)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]$ ta suy ra $A = \dfrac{{Tr}}{{\left( {1 + r} \right)\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]}}$.
Vậy $A = \dfrac{{Tr}}{{\left( {1 + r} \right)\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]}} = \dfrac{{10.000.000.0,6\% }}{{\left( {1 + 0,6\% } \right)\left[ {{{\left( {1 + 0,6\% } \right)}^{15}} - 1} \right]}} = 635.301$ đồng.
Một người vay ngân hàng số tiền $T$ đồng, lãi suất mỗi tháng là $r$. Số tiền $A$ mà người đó phải trả cuối mỗi tháng để sau $N$ tháng là hết nợ là:
Số tiền người đó phải trả vào cuối mỗi tháng là: $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$.
Một người vay ngân hàng một số tiền với lãi suất mỗi tháng là $r$. Biết cuối mỗi tháng người đó phải trả cho ngân hàng $A$ đồng và trả trong $N$ tháng thì hết nợ. Số tiền người đó vay là:
Từ công thức $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$ ta suy ra $T = \dfrac{{A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]}}{{r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}$
Anh A mua 1 chiếc Laptop giá $23$ triệu đồng theo hình thức trả góp, lãi suất mỗi tháng là $0,5\% $. Hỏi mỗi tháng anh A phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền để sau $6$ tháng anh trả hết nợ?
Ta có:
$\begin{array}{l}T = 23000000\\r = 0,5\% \\N = 6\end{array}$
Vậy $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}} = \dfrac{{23000000.0,5\% {{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^6}}}{{{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^6} - 1}} = 3900695$ đồng.
Một người vay ngân hàng một số tiền với lãi suất mỗi tháng là $1,12\% $. Biết cuối mỗi tháng người đó phải trả cho ngân hàng $3.000.000$ đồng và trả trong $1$ năm thì hết nợ. Số tiền người đó vay là:
Từ công thức $A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}$, ta suy ra $T = \dfrac{{A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right]}}{{r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}} = \dfrac{{3.000.000.\left[ {{{\left( {1 + 1,12\% } \right)}^{12}} - 1} \right]}}{{1,12\% .{{\left( {1 + 1,12\% } \right)}^{12}}}} = 33510627$ đồng.
Một khu rừng ở tỉnh Hà Giang có trữ lượng gỗ là $3.10^5(m^3).$ Biết tốc độ sinh trưởng của các ở khu rừng đó là $5\%$ mỗi năm. Hỏi sau $5$ năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
Trữ lượng gỗ sau năm thứ nhất: ${3.10}^5.(1+0,05)$
Trữ lượng gỗ sau năm thứ 2: ${3.10}^5.(1+0,05).+{3.10}^5.(1+0,05).0,05={3.10}^5.{(1+0,05)}^2$
Tương tự như vậy đến năm thứ 5 trữ lượng gỗ ở khu rừng đó là : ${3.10}^5.{(1+0,05)}^5$
