Bài toán lãi kép

Vì lãi suất là \(r\% \) mỗi tháng nên định kì là \(1\) tháng, do đó số kì hạn là \(N = 5\).

Công thức tính số tiền cả vốn lẫn lãi mà người đó nhận được sau \(5\) tháng là: \(T = A{\left( {1 + 0,5\% } \right)^5}\) do đó \(A = \dfrac{T}{{{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^5}}}\)

Theo công thức lãi kép ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,T = A{\left( {1 + r} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2A = A{\left( {1 + 8,4\% } \right)^n}\\ \Leftrightarrow n = {\log _{1,084}}2 \approx 8,59\end{array}\)

Vậy phải sau ít nhất 9 năm người đó mới thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu.

Số tiền mỗi tháng phải trả là: \(A = \dfrac{{100{{\left( {1 + 1\% } \right)}^{5 \times 12}}.1\% }}{{{{\left( {1 + r} \right)}^{5 \times 12}} - 1}} \approx 2,22\) (triệu)

Số kì hạn là: \(2 \times 12 = 24\) tháng.

Ta có: \(12,1 = A{\left( {1 + 0,8\% } \right)^{24}}\) \( \Leftrightarrow A = \dfrac{{12,1}}{{{{\left( {1 + 0,8\% } \right)}^{24}}}} \approx 10\) triệu đồng.

Sử dụng công thức lãi kép ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,T = A{\left( {1 + r} \right)^n}\\ \Leftrightarrow {T_n} = 100{\left( {1 + 12\% } \right)^n}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Số tiền lãi nhận được sau n năm là \(100{\left( {1 + 12\% } \right)^n} - 100\)

Để số tiền lãi nhận được lớn hơn $40.000.000$ đồng

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 100{\left( {1 + 12\% } \right)^n} - 100 > 40 \Leftrightarrow 100.1,{12^n} > 140\\ \Leftrightarrow n > {\log _{1,12}}\dfrac{{140}}{{100}} \approx 2,97\end{array}\)

Mỗi kì hạn có \(m\) tháng nên sau \(N\) năm có số kì hạn là \(\dfrac{{N \times 12}}{m}\).

Khi đó, số tiền người đó thu được sau \(\dfrac{{N \times 12}}{m}\) kì hạn là: \(T = A{\left( {1 + mr} \right)^{\dfrac{{N \times 12}}{m}}}\)

Sau \(5\) năm thì người đó có số kì hạn là \(5.12:6 = 10\) kì hạn.

Vậy số tiền người đó có được sau \(5\) năm là: \(T = A{\left( {1 + 6r} \right)^{10}}\)

Kì hạn nửa năm \( = 6\) tháng nên \(m = 6\), số kì hạn là \(N = 3.12:6 = 6\) kì hạn.

Vậy \(T = A{\left( {1 + 6r} \right)^6}\).

Ta có: \(1\) quý bằng \(3\) tháng nên \(m = 1\).

Số kì hạn \(N = 5.12:3 = 20\).

Khi đó số tiền cả vốn lẫn lãi An rút được sau \(5\) năm là: \(T = 10{\left( {1 + 1.2\% } \right)^{20}} \approx 14,859\) triệu.

Vậy An chỉ có thể mua được chiếc máy tính có giá nhỏ hơn hoặc bằng \(14,859\) triệu.

Trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án D thỏa mãn.

Công thức tính số tiền người đó có trong ngân hàng sau \(N\) tháng là: \(T = \dfrac{{A\left( {1 + r\% } \right)}}{{r\% }}\left[ {{{\left( {1 + r\% } \right)}^N} - 1} \right]\)

Từ công thức \(T = \dfrac{{A\left( {1 + r\% } \right)}}{{r\% }}\left[ {{{\left( {1 + r\% } \right)}^N} - 1} \right]\) ta suy ra:

Số tiền mỗi tháng người đó phải gửi là: \(A = \dfrac{{Tr\% }}{{\left( {1 + r\% } \right)\left[ {{{\left( {1 + r\% } \right)}^N} - 1} \right]}}\)

Đến ngày sinh nhật thứ \(18\) của con thì ông B đã gửi tiền được \(18.12 - 1 = 215\) tháng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 1.000.000\\r = 0,5\% \\N = 215\end{array}\)

Vậy \(T = \dfrac{{A\left( {1 + r} \right)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1} \right] = \dfrac{{1.000.000\left( {1 + 0,5\% } \right)}}{{0,5\% }}\left[ {{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^{215}} - 1} \right] = 386.353.194\) đồng (khoảng \(386\) triệu đồng)

Sử dụng công thức gửi hàng tháng (gửi đầu tháng) ta có :

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\left( {1 + r} \right)\\ \Leftrightarrow 2000 = \dfrac{A}{{8\% }}\left[ {{{\left( {1 + 8\% } \right)}^6} - 1} \right]\left( {1 + 8\% } \right)\\ \Leftrightarrow A = \dfrac{{2000.8\% }}{{\left[ {{{\left( {1 + 8\% } \right)}^6} - 1} \right]\left( {1 + 8\% } \right)}} \approx 252,5\,\,\left( {tr} \right)\end{array}\)

Áp dụng công thức trả góp ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,T{\left( {1 + r} \right)^n} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 300{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n} = \dfrac{{5,5}}{{0,5\% }}\left[ {{{\left( {1 + 0,5\% } \right)}^n} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 800.1,{005^n} = 1100\\ \Leftrightarrow n = {\log _{1,005}}\dfrac{{1100}}{{800}} \approx 63,85\end{array}\)

Vậy sau ít nhất 64 tháng anh A mới trả hết số tiền 300 triệu.

Ta có: \(A = \dfrac{{T.r{{\left( {1 + r} \right)}^N}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^N} - 1}}\) \( \Leftrightarrow Tr{\left( {1 + r} \right)^N} = A{\left( {1 + r} \right)^N} - A\) \( \Leftrightarrow \left( {A - Tr} \right){\left( {1 + r} \right)^N} = A\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^N} = \dfrac{A}{{A - Tr}}\) \( \Leftrightarrow N = {\log _{1 + r}}\dfrac{A}{{A - Tr}}\)

Lãi suất 1 tháng là 1%.

Ta có: \(T = \dfrac{{A\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]}}{{r{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}\)

Suy ra số tiền người đó còn nợ sau \(6\) tháng là:

\(100{\left( {1 + \dfrac{1}{{100}}} \right)^6} - 10.\dfrac{{{{\left( {1 + \dfrac{1}{{100}}} \right)}^6} - 1}}{{\dfrac{1}{{100}}}} = 44,632\) triệu

Số tiền cần phải trả trong 12 tháng là 13.500.000 (đồng)

Áp dụng công thức trả góp ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,T{\left( {1 + r} \right)^n} = \dfrac{A}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 13,5.{\left( {1 + 3,4\% } \right)^{12}} = \dfrac{A}{{3,4\% }}\left[ {{{\left( {1 + 3,4\% } \right)}^{12}} - 1} \right]\end{array}\)

\( \Leftrightarrow A = \dfrac{{13,5.{{\left( {1 + 3,4\% } \right)}^{12}}.3,4\% }}{{{{\left( {1 + 3,4\% } \right)}^{12}} - 1}} = {\bf{1}}.{\bf{388823974}}\) (triệu đồng) $ \approx 1388824$ đồng

Thể tích khí CO2 năm 2008 là \({V_{2008}} = V{\left( {1 + \dfrac{m}{{100}}} \right)^{10}}\)

Thể tích khí CO2 năm 2018 là ${V_{2008}} = {V_{2008}}{\left( {1 + \dfrac{n}{{100}}} \right)^{10}} = V{\left( {1 + \dfrac{m}{{100}}} \right)^{10}}{\left( {1 + \dfrac{n}{{100}}} \right)^{10}} = V\dfrac{{{{\left( {100 + m} \right)}^{10}}{{\left( {100 + n} \right)}^{10}}}}{{{{10}^{40}}}}$

Gọi x là giá trị chiếc xe, \({A_1};\,{A_2}\) lần lượt là số tiền phải trả còn lại cuối năm thứ nhất và cuối năm thứ hai ta có hệ phương tình :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2200000 = {A_1}\\{A_1}\left( {1 + 6,24\% } \right) - 3800000 = {A_2}\\{A_2}\left( {1 + 6,24\% } \right) - 5300000 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\,472\,500,77\\{A_1} = 8\,272\,500,77\\{A_2} = 4\,988\,704,819\end{array} \right.\)

Năm thứ nhất \({T_1} = 100\left( {1 + 4\% } \right)\)

Năm thứ hai ${T_2} = {T_1}\left( {1 + 4,3\% } \right)$

Năm thứ ba \({T_3} = {T_2}\left( {1 + 4,6\% } \right)\)

Năm thứ tư \({T_4} = {T_3}\left( {1 + 4,9\% } \right) \approx 119,021\) (triệu)