Bài tập ba định luật Newton

Áp dụng định luật II Niuton cho:

Viên bi 1: \(\overrightarrow {{F_{21}}}  = {m_1}\overrightarrow {{a_1}}  = {m_1}.\dfrac{{\overrightarrow {{v_1}}  - \overrightarrow {{v_0}} }}{{\Delta t}} = m.\dfrac{{\overrightarrow {{v_1}}  - \overrightarrow {{v_0}} }}{{\Delta t}}\)

Viên bi 2: \(\overrightarrow {{F_{12}}}  = {m_2}\overrightarrow {{a_2}}  = {m_2}.\dfrac{{\overrightarrow {{v_2}}  - \overrightarrow 0 }}{{\Delta t}} = m.\dfrac{{\overrightarrow {{v_2}}  - \overrightarrow 0 }}{{\Delta t}}\)

Áp dụng định luật III Niuton ta có: \(\overrightarrow {{F_{21}}}  =  - \overrightarrow {{F_{12}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{v_1}}  - \overrightarrow {{v_0}}  =  - \overrightarrow {{v_2}}  \Rightarrow \overrightarrow {{v_0}}  = \overrightarrow {{v_1}}  + \overrightarrow {{v_2}} \,\,\left( * \right)\)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

Vì \(\overrightarrow {{v_1}}  \bot \overrightarrow {{v_2}}  \Rightarrow {v_0} = \sqrt {v_1^2 + v_2^2}  = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5m/s\)

Có: \(\sin \alpha  = \dfrac{{{v_2}}}{{{v_0}}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \alpha  \approx 36,{87^0}\)

Chọn chiều (+) cùng chiều chuyển động bật ra của quả bóng. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{v_0} =  - 90km/h =  - 25m/s\\v = 54km/h = 15m/s\end{array} \right.\)

Gia tốc của vật: \(a = \dfrac{{v - {v_0}}}{{\Delta t}} = \dfrac{{15 - \left( { - 25} \right)}}{{0,05}} = 800m/{s^2}\)

Theo định luật III Niu-tơn ta có: \({F_{T \to B}} = {F_{B \to T}} = ma = 0,2.800 = 160N\)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật

+ Các lực tác dụng lên vật: trọng lực \(\overrightarrow P \), phản lực \(\overrightarrow N \), lực hãm \(\overrightarrow {{F_h}} \)

+ Phương trình định luật II Niutơn cho vật: \(\overrightarrow P  + \overrightarrow N  + \overrightarrow {{F_h}}  = m\overrightarrow a \) (1)

Chiếu (1) lên chiều dương, ta được: \( - {F_h} = ma\) (2)

+ Mặt khác, ta có phương trình vận tốc: \(v = {v_0} + at\)

khi xe dừng lại \(v = 0 \to {v_0} =  - at\) (3)

Khi đó, quãng đường đi được của xe: \(s = {v_o}t + \frac{1}{2}a{t^2} =  - a{t^2} + \frac{1}{2}a{t^2} =  - \frac{1}{2}a{t^2}\) (4)

Từ (4), ta suy ra: \(a = \frac{{ - 2{\rm{s}}}}{{{t^2}}} = \frac{{ - 2.9}}{{{3^2}}} =  - 2m/{s^2}\)

=> thay vào (2), ta có: Lực hãm \({F_h} =  - ma =  - 2000.( - 2) = 4000N\)  

+ Độ lớn lực kéo của động cơ của:

• Xe 1 là: \({F_1} = {m_1}{a_1}\)
• Xe 2 là: \({F_2} = {m_2}{a_2}\)

+ Chọn trục tọa độ Ox trùng vời đường thẳng AB, gốc O trùng với A, mốc thời gian là lúc hai xe khởi hành

+ Phương trình chuyển động của hai xe:

• Xe 1: \({x_1} = 5t + \frac{1}{2}{a_1}{t^2}\)
• Xe 2: \({x_2} = 30 + \frac{1}{2}{a_2}{t^2}\)

Ta có, khoảng cách giữa hai xe:

\(\Delta x = {x_2} - {x_1} = 30 + \frac{1}{2}{a_2}{t^2} - \left( {5t + \frac{1}{2}{a_1}{t^2}} \right)\)

Theo đầu bài, ta có: \({a_2} = 2{{\rm{a}}_1}\)

\( \to \Delta x = 30 + {a_1}{t^2} - \left( {5t + \frac{1}{2}{a_1}{t^2}} \right) = \frac{1}{2}{a_1}{t^2} - 5t + 30\) (*)

Tam thức (*) có hệ số lớn hơn 0, ta suy ra: \(\Delta {x_{\min }} = \frac{{ - \Delta }}{{4{\rm{a}}}} = \frac{{ - (25 - 60{{\rm{a}}_1})}}{{2{{\rm{a}}_1}}}\)

Mặt khác, theo đầu bài:

\(\begin{array}{l}\Delta {x_{\min }} = 5m \leftrightarrow \frac{{ - (25 - 60{{\rm{a}}_1})}}{{2{{\rm{a}}_1}}} = 5\\ \to {a_1} = 0,5m/{s^2}\end{array}\)

=> Lực kéo của mỗi động cơ xe là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{F_1} = {m_1}{a_1} = 1000.0,5 = 500N\\{F_2} = {m_2}{a_2} = 1000.2.0,5 = 1000N\end{array} \right.\)

Ta có:  \(v = 54km/h = 15m/s\)

+ Chọn chiều (+)  là chiều chuyển động, gốc thời gian lúc bắt đầu hãm phanh.

Theo định luật II - Niutơn, ta có: \(\overrightarrow a  = \frac{{\overrightarrow F }}{m} \to a =  - \frac{F}{m} =  - \frac{{3000}}{{1000}} =  - 3m/{s^2}\)  

+ Mặt khác, ta có:

\(\begin{array}{l}{v^2} - v_0^2 = 2{\rm{as}} \leftrightarrow 0 - {15^2} = 2.( - 3)s\\ \to {\rm{s}} = {\rm{37,5m}}\end{array}\)

+ Theo định luật II Niutơn, ta có: \(a = \frac{F}{m} = 750m/{s^2}\)

+ Chọn gốc thời gian là lúc chân cầu thủ chạm vào bóng

+ Phương trình vận tốc của vật: \(v = {v_0} + at = 0 + 750.0,015 = 11,25\,m/s\)

Ta xét chuyển động của xe $A$ có vận tốc trước khi va chạm là \({v_A} = 2m/s\), sau va chạm xe A có vận tốc là \(v = 1m/s\)

Áp dụng biểu thức xác định gia tốc: \(a = \dfrac{{{v_2} - {v_1}}}{{\Delta t}} = \dfrac{{1 - 2}}{{0,4}} =  - 2,5m/s\)

+ Theo định luật $III$ Niu-tơn: \({\overrightarrow F _{AB}} =  - {\overrightarrow F _{BA}}\)

+ Theo định luật $II$, ta có: $F = ma$

\(\begin{array}{l} \to {|F_{AB}|} = {|F_{BA}|} \leftrightarrow {m_A}{|a_A|} = {m_B}{a_B}\\ \to {a_B} = \dfrac{{{m_A}{|a_A|}}}{{{m_B}}} = \dfrac{{0,2.2,5}}{{0,1}} = 5m/{s^2}\end{array}\)

Ta có:

+ Ban đầu: \({a_1} = \frac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta t}} = \frac{2}{5} = 0,4m/{s^2}\)

Mặt khác, ta có: \({F_1} = m{a_1} = 0,4m\)

+ Khi tăng \(F' = 2.{F_1} = {\rm{2}}{\rm{.0,4m}} = 0,8m\)

\( \to {{\rm{a}}_2} = \frac{{0,8m}}{m} = 0,8m/{s^2}\)

Lại có: \({a_2} = \frac{{\Delta {v_2}}}{{\Delta t}} = \frac{{\Delta {v_2}}}{8} = 0,8m/{s^2} \to \Delta {v_2} = 6,4m/s\)

+ Ta có:

\({v^2} - v_0^2 = 2{\rm{as}} \to  - v_0^2 = 2{\rm{as}} = 3,6{\rm{a   }}(1)\)

Mặt khác: \(a = \dfrac{{v - {v_0}}}{{\Delta t}} \to  - {v_0} = at = 2a{\rm{          (2)}}\)

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(a =  - 0,9{\rm{ }}m/{s^2}\)

+ Lực hãm phanh tác dụng lên ôtô: \(F = m.a{\rm{ }} =  - 450N\)

Theo định luật II Niutơn, ta có:

 \(\begin{array}{l}{m_1} = \frac{F}{{{a_1}}};{m_2} = \frac{F}{{{a_2}}}\\ \to {a_3} = \frac{F}{{{m_3}}} = \frac{F}{{{m_1} + {m_2}}} = \frac{F}{{\frac{F}{{{a_1}}} + \frac{F}{{{a_2}}}}}\\ = \frac{{{a_1}{a_2}}}{{{a_1} + {a_2}}} = \frac{{2.3}}{{2 + 3}} = 1,2m/{s^2}\end{array}\)

Theo định luật II - Niutơn, ta có: \(F = ma\)

+ Khi \(m = {m_1} = 4kg\) thì \({a_1} = 3m/{s^2}\)

+ Khi \(m = {m_2}\) thì \({a_2} = 2m/{s^2}\)

Ta có, lực trong hai trường hợp là như nhau:

\(\begin{array}{l} \leftrightarrow {m_1}{a_1} = {m_2}{a_2} \leftrightarrow 4.3 = {m_2}.2\\ \to {m_2} = 6kg\end{array}\)

=> Khối lượng vật thêm vào là: \(6 - 4 = 2kg\)  

Gọi t - thời gian tương tác giữa hai xe

Độ lớn gia tốc của mỗi xe lần lượt là: \({a_1} = \frac{{{v_1}}}{t};{a_2} = \frac{{{v_2}}}{t}\)

Theo định luật III - Niutơn, ta có lực do xe 1 tác dụng vào xe 2 và lực do xe 2 tác dụng vào xe 1 bằng nhau về độ lớn

Áp dụng định luật II Niutơn, ta có:

\(\begin{array}{l}{m_1}{a_1} = {m_2}{a_2} \leftrightarrow {m_1}\frac{{{v_1}}}{t} = {m_2}\frac{{{v_2}}}{t}\\ \to {m_1}{v_1} = {m_2}{v_2}\\ \to {v_2} = \frac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{2.4}}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67m/s\end{array}\)  

Gọi m và m’ lần lượt là khối lượng của xe và của kiện hàng.

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe

+ Áp dụng định luật II Niutơn:

• cho xe: \({a_1} = \frac{F}{m}\) (1)
• cho xe và kiện hàng: \({a_2} = \frac{F}{{m + m'}}\) (2)

+ Quãng đường đi của xe trong hai trường hợp là: \(s = \frac{1}{2}{a_1}t_1^2 = \frac{1}{2}{a_2}t_2^2\) (3)

Từ (3), ta suy ra: \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{t_2^2}}{{t_1^2}} = \frac{{{{20}^2}}}{{{{10}^2}}} = 4\)

Từ (1) và (2), ta suy ra: \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{m + m'}}{m} \to m' = 3m = 3.50 = 150kg\)

+Áp dụng định luật II - Niutơn cho vật:

• Trên đoạn đường AB: \({a_1} = \frac{{{F_1}}}{m}\) (1)
• Trên đoạn đường BC: \({a_2} = \frac{{{F_2}}}{m}\) (2)

Lấy (2)/(1) ta được: \(\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}} = \frac{{{F_2}}}{{{F_1}}}\) (3)

+ Mặt khác, ta có:

• \({a_1} = \frac{{{v_1} - {v_{01}}}}{t} = \frac{{10 - 0}}{t} = \frac{{10}}{t}\)
• \({a_2} = \frac{{{v_2} - {v_{02}}}}{t} = \frac{{15 - 10}}{t} = \frac{5}{t}\)

Thay vào (3), ta được: \(\frac{{{F_2}}}{{{F_1}}} = \frac{{\frac{5}{t}}}{{\frac{{10}}{t}}} = \frac{1}{2}\)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của vật, ta có:

+ Trong $6s$ đầu: \({a_1} = \dfrac{{{v_1} - {v_{01}}}}{{{t_1}}} = \dfrac{{5 - 8}}{6} =  - 0,5m/{s^2}\)

+ Trong $10s$ tiếp theo: \({a_2} = \frac{{{v_2} - {v_{02}}}}{{{t_2}}} = \dfrac{{{v_2} - 5}}{{10}}\) (1)

Ta có, với cùng một vật thì gia tốc a tỉ lệ thuận với lực tác dụng nên khi

\({F_2} = 2{F_1} \to {a_2} = 2{{\rm{a}}_1} = 2.( - 0,5) =  - 1m/{s^2}\)

Thay vào (1) ta được: \(\dfrac{{{v_2} - 5}}{{10}} =  - 1 \to {v_2} =  - 5m/s\)

Ta có: \(S = {v_0}t + \dfrac{1}{2}a{t^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 30 = 2.3 + 0,5.a{.3^2}\\ \Rightarrow a = \dfrac{{16}}{3}m/{s^2}\end{array}\)

Lực cản của không khí tác dụng vào vật có độ lớn bằng:

\(\begin{array}{l}P - {F_C} = ma\\ \Rightarrow {F_c} = p - ma \\= mg - ma = 50 - 5.\dfrac{{16}}{3} = 23,33N\end{array}\)

Gọi \(\overrightarrow {{F_{12}}\;} \) là lực mà thông qua lò xo, xe (1) tác dụng lên xe (2).

Theo định luật II Niuton: \({F_{12}} = {m_2}.{a_2} = {m_2}.\dfrac{{\Delta {v_2}}}{{\Delta t}} = {m_2}.\dfrac{{{v_2} - 0}}{{\Delta t}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Gọi \(\overrightarrow {{F_{21}}\;} \) là lực mà thông qua lò xo, xe (2) tác dụng lên xe (1).

Theo định luật II Niuton: \({F_{21}} = {m_1}.{a_1} = {m_1}.\dfrac{{\Delta {v_1}}}{{\Delta t}} = {m_1}.\dfrac{{{v_1} - 0}}{{\Delta t}}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Theo định luật III Niuton, về độ lớn: F₁₂ = F₂₁    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\({m_2}.\dfrac{{{v_2}}}{{\Delta t}}\, = {m_1}.\dfrac{{{v_1}}}{{\Delta t}} \Rightarrow {m_2} = \dfrac{{{v_1}}}{{{v_2}}}.{m_1} = \dfrac{{1,5}}{1}.400 = 600g\)

Vậy khối lượng xe lăn (2) là m₂ = 600g.

Trước va chạm:

Áp dụng định luật II Niuton cho từng viên bi:

Bi 1: \(\overrightarrow {{F_{21}}}  = {m_1}\overrightarrow {{a_1}}  = {m_1}.\dfrac{{\overrightarrow {{v_1}'}  - \overrightarrow {{v_1}} }}{{\Delta t}}\)

Bi 2: \(\overrightarrow {{F_{12}}}  = {m_2}\overrightarrow {{a_2}}  = {m_2}.\dfrac{{\overrightarrow {{v_2}'}  - \overrightarrow {{v_2}} }}{{\Delta t}}\)

Áp dụng định luật III Niuton ta có:

\(\overrightarrow {{F_{12}}}  =  - \overrightarrow {{F_{21}}}  \Leftrightarrow {m_2}.\left( {\overrightarrow {{v_2}'}  - \overrightarrow {{v_2}} } \right) =  - {m_1}.\left( {\overrightarrow {{v_1}'}  - \overrightarrow {{v_1}} } \right) \Leftrightarrow {m_2}.\left( {\overrightarrow {{v_2}'}  - \overrightarrow {{v_2}} } \right) = {m_1}\overrightarrow {{v_1}} \,\,\left( * \right)\)

Chọn chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của viên bi 1.

Giả sử \(\overrightarrow {{v_2}'} \) cùng chiều dương.

Chiếu (*) lên chiều dương ta được: \({m_2}.\left( {{v_2}' + {v_2}} \right) = {m_1}{v_1}\)

Có: \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} = 0,5kg\\{m_2} = 0,2kg\\{v_1} = 3m/s\\{v_2} = 5m/s\end{array} \right. \Rightarrow 0,2.\left( {{v_2}' + 5} \right) = 0,5.3 \Rightarrow {v_2}' = 2,5m/s > 0\)

Vậy sau va chạm bi 2 chuyển động với v₂’ = 2,5m/s cùng chiều dương.

Theo định luật III Niuton ta có:

\({F_{AB}} = {F_{BA}} \Leftrightarrow {m_B}{a_B} = {m_A}{a_A}\)

Mà \({m_A} > {m_B} \Rightarrow {a_B} > {a_A}\)

Chiếu các lực lên chiều dương, ta được:

\({F_1} - F = ma\) (1)

\(F - {F_2} = ma\) (2)

Lấy (1) – (2), ta được:

\({F_1} - F - F + {F_2} = 0 \Leftrightarrow 2F = {F_1} + {F_2}\)

\( \Leftrightarrow F = \frac{{{F_1} + {F_2}}}{2}\)