Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+{{2}^{x}}\)
\(\int{f\left( x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{3}{x}+\dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+C\)
Tìm họ nguyên hàm \(\int{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}.\)
Ta có \(\int{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}=\int{\dfrac{1-\cos 2x}{2}\,\text{d}x}\)
Ta áp dụng công thức \(\int{[f(x)-g(x)]}dx=\int{f(x)}dx-\int{g(x)}dx\) nên
\(=\int{\dfrac{1-\cos 2x}{2}}dx=\int{(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\cos 2x}{2})}dx\\=\int{\dfrac{1}{2}}dx-\int{\dfrac{\cos 2x}{2}}dx\)\(=\dfrac{1}{2}\int{dx-\dfrac{1}{2}\int{\cos 2xdx}}\)\(=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+C.\)
Do \(\int dx=x;\int{\cos 2x}dx=\dfrac{\sin 2x}{2}\)
Vậy \(\int{{{\sin }^{2}}x\,\text{d}x}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+C\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=x+\cos x\).
\(\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\sin x+C\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(y=\cos 3x\) là
Ta có \(\int{\cos 3x\,\text{d}x}=\dfrac{\sin 3x}{3}+C.\)
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\tan 2x.\)
Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\tan 2x\,\text{d}x}\) \(=\dfrac{1}{2}\int{\tan 2x\,\text{d}\left( 2x \right)}\) \(=-\dfrac{1}{2}\ln \left| \cos 2x \right|+C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).
Ta có \(\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\left( {3\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} = 3\sin x - \dfrac{1}{x} + C\)
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\) là :
\(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\)
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = F\left( x \right)\) thỏa mãn \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Chọn khẳng định đúng:
Nếu có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right)\) được gọi là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và \(f\left( x \right)\) được gọi là đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right)\).
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=1\). Tìm $F(x).$
Ta có \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=-\tan x+C\)
\(F\left( 0 \right)=1\Leftrightarrow -\tan 0+C=1\Leftrightarrow C=1\Rightarrow F\left( x \right)=-\tan x+1\)
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\). Với \(C \ne 0\) là một hằng số bất kì, hàm nào sau đây cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\)?
Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) + C\) hay \(F\left( x \right) - C\) cũng là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) (\(C \ne 0\) là một hằng số).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \,\sin x\) và đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\). Tính \(F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).\)
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\sin xdx} = - \cos x + C.\)
Đồ thị hàm số \(y = - \cos x + C\) đi qua điểm \(M\left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow 1 = - \cos 0 + C \Rightarrow C = 2 \Rightarrow F\left( x \right) = - \cos x + 2.\)
\( \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \dfrac{\pi }{2} + 2 = 2.\)
Chọn mệnh đề sai:
Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\) nên A đúng.
\(\int {f''\left( x \right)dx} = \int {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} 'dx = f'\left( x \right) + C\) nên B đúng.
\(\int {f'''\left( x \right)dx} = \int {\left[ {f''\left( x \right)} \right]} 'dx = f''\left( x \right) + C\) nên C đúng.
\(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\) với \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) chứ không phải \(\int {f\left( x \right)dx} = f'\left( x \right) + C\) nên D sai.
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai ?
Đáp án A: $\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} $ với $k \ne 0$ nên A sai.
Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{1}{x} + \ln \left| {2x} \right| + C\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) là
Ta có \(\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{x}+\ln \left| 2x \right|+C\Rightarrow f\left( x \right)=\left( \int{f\left( x \right)} \right)'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{2}{2x}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{x}\)
Một vận động viên đua xe \({F_1}\) đang chạy với vận tốc $10\;m/s$ thì anh ta tăng tốc với gia tốc $a\left( t \right) = 6t{\rm{ }}\left( {m/{s^2}} \right)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian $10s$ kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu
$\int {a(t)dt = \int {6tdt = 3{t^2}} + C = v(t)} $
$t = 0 \Rightarrow v = 10 \Rightarrow C = 10 \Rightarrow v(t) = 3{t^2} + 10$
$ \Rightarrow S\left( t \right) = \int {\left( {3{t^2} + 10} \right)dt} = {t^3} + 10t + C$
Quãng đường đi được của vật trong \(10s\) bắt đầu từ lúc tăng tốc là:
\(S\left( {10} \right) - S\left( 0 \right) = \left( {{{10}^3} + 10.10 + C} \right) - \left( {{0^3} + 10.0 + C} \right) = 1100\,m\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{2}{4x-3}.\)
Ta có \(\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\dfrac{2}{4x-3}\,\text{d}x}\) \(=\dfrac{2}{4}\ln \left| 4x-3 \right|+C\) \(=\dfrac{1}{2}\ln \left| 2\left( 2x-\dfrac{3}{2} \right) \right|+C\) \(=\dfrac{1}{2}\ln \left| 2x-\dfrac{3}{2} \right|+C'\) ở đó \(C + \dfrac{1}{2}\ln 2 = C'\) .
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{5}}-\frac{1}{x}+2018\) là:
\(f\left( x \right)=4{{x}^{5}}-\frac{1}{x}+2018\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\frac{2}{3}{{x}^{6}}-\ln \left| x \right|+2018x+C\)
Tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x+3}\) là:
Ta có: \(\int{\frac{1}{2x+3}dx=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C.}\)
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{1-2x}\) là
Ta có \(\int {\dfrac{1}{{1 - 2x}}{\text{d}}x} = - \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 - 2x} \right| + C\)
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{3x + 1}}\) trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3x + 1}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left( { - \,3x - 1} \right) + C\)
Vì \(\left| {3x + 1} \right| = - \,3x - 1\) khi $x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{1}{3}} \right).$
