Khái niệm về mặt tròn xoay (mặt nón)

Giả sử tam giác ABC đều cạnh a  $\Rightarrow {s_1} = {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng $AH$ ta thu được hình nón có đường sinh $l = AB = a$, bán kính đáy $r = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}$, do đó diện tích xung quanh của hình nón bằng:  ${s_2} = \pi rl = \pi .\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2}$.

Vậy $\dfrac{{{s_1}}}{{{s_2}}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{{\pi {a^2}}}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{2\pi }}$.

Ta có : ${S_{xq}} = \pi Rl \Rightarrow 2\sqrt 5 \pi  = \pi .2l \Leftrightarrow l = \sqrt 5$.

Lại có ${l^2} = {R^2} + {h^2} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {2^2} + {h^2}$$\Leftrightarrow {h^2} = 1 \Leftrightarrow h = 1$.

Vậy thể tích khối nón là : $V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.2^2}.1 = \dfrac{4}{3}\pi$.

Bước 1: Tính SO, OI, AB và SA

Ta có $SO = h = 20;OK = 12$.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông SOI có

$\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{I^2}}} + \dfrac{1}{{O{S^2}}} \Rightarrow OI = 15(\;{\rm{cm}})$

$AB = 2AI = 2\sqrt {{r^2} - {{15}^2}} (\;{\rm{cm}})$

$SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{r^2} + {{20}^2}} (\;{\rm{cm}}).$

Bước 2: Tính r và thể tích khối nón.

Mà chu vi thiết diện là $40 + 10\sqrt {41} (\;{\rm{cm}})$ nên ta có:

$AB + SA + SB = 40 + 10\sqrt {41}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {{r^2} - 225}  + 2\sqrt {{r^2} + 400}$$= 40 + 10\sqrt {41}$

$\Leftrightarrow r = 25(\;{\rm{cm}})$

$AB + SA + SB - 40 + 10\sqrt {41}$$\Leftrightarrow 2\sqrt {{r^2}}  - 225 + 2\sqrt {{r^2}}  + 400$$= 40 + 10\sqrt {41}$

Vậy thể tích khối nón là:

${V_n} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi  \cdot {25^2} \cdot 20$$= \dfrac{{12500\pi }}{3}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$

Bước 1: Tính chiều dài dây cung MN

Ta có $MN = SM = SN = 48\;{\rm{cm}}$ nên $\Delta SMN$ đều

$\Rightarrow \widehat {MSN} = {60^0}$.

Chu vi đường tròn đáy của cái mũ chính là chiều dài $x$ của dây cung MN.

Bước 2: Tính chiều cao của cái mũ

Mặt khác số đo cung MN bằng số đo $\widehat {MSN} = {60^0}$ nên $x = \dfrac{{\pi .48.60}}{{180}} = 16\pi$.

Gọi $r$ là bán kính của đường tròn đáy của cái mũ, ta có $x = 2\pi r \Rightarrow r = \dfrac{x}{{2\pi }} = \dfrac{{16\pi }}{{2\pi }} = 8$.

Bước 3: Tính thể tích

Chiều cao của cái mũ $h = \sqrt {S{M^2} - {r^2}}  = \sqrt {{{48}^2} - {8^2}}  = 8\sqrt {35}$.

Vậy thể tích cái mũ $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {8^2}.8\sqrt {35}  = \dfrac{{512\pi \sqrt {35} }}{3}\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)$.

Bước 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ và $(ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $A D$

$\Rightarrow BM \bot AD({\mathop{\rm tam}\nolimits}$ giác $A B D$ I$là trung điểm$M D$

$\Rightarrow OI \bot AD \Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)$ và $(ABCD)$ bằng $\widehat {{A^\prime }IO}$.

Bước 2: Tính $\tan \widehat {{A^\prime }IO}$

Ta có $AC = 2AO = 2 \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Xét tam giác $A{A^\prime }O$ vuông tại $O$ có: ${A^\prime }O = AO \cdot \tan {60^0 } = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 3  = \dfrac{{3a}}{2}$.

Xét $\Delta BMD$ có: $OI = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}$.

Xét tam giác ${A^\prime }IO$ vuông tại $O$ có: $\tan \widehat {{A^\prime }IO} = \dfrac{{{A^\prime }O}}{{OI}} = 2\sqrt 3$

Bước 1: Tính ${S_{ABCD}};A'O$

Ta có ${S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}}$$= 2 \cdot \dfrac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin {60^0 } = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2};$${A^\prime }O = \dfrac{{3a}}{2}$.

Bước 2: Tính ${V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}$

=> ${V_{AC{B^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}}$$= \dfrac{1}{3} \cdot {A^\prime }O \cdot {S_{ABCD}}$$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{3a}}{2} \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$

Bước 1: Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Vì $\Delta ABD$ đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác trùng với trọng tâm của tam giác

$\Rightarrow$ Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: $r = \dfrac{{BM}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$.

Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình nón ${S_{xq}} = \pi rl + \pi {r^2}$

Vì chiều cao của hình nón bằng chiều cao của lăng trụ nên ta có độ dài đường sinh là

$l = \sqrt {{A^\prime }{O^2} - {r^2}}$$= \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {159} }}{6}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: ${S_{xq}} = \pi rl + \pi {r^2}$$= \dfrac{{\pi {a^2}(\sqrt {53}  + 1)}}{{12}}$.

Ta có thể tích của khối nón là $V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h = \dfrac{1}{2}\pi {r^2}h$

Có $r = 2\sqrt 3 a$. Ta cần tìm h=SO.

Gọi $I$ là trung điểm của $A B$.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI \bot AB(\Delta SAB\text{ cân})}\\{OI \bot AB(\Delta OAB\text{ cân})}\end{array} \Rightarrow AB \bot (SOI)} \right.$

Mà $AB \subset (SAB) \Rightarrow (SAB) \bot (SOI)$

Kẻ $OH \bot SI$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \bot (SOI)}\\{(SAB) \cap (SOI) = SI \Rightarrow OH \bot (SAB)}\\{OH \bot SI}\end{array}} \right.$

Suy ra $d(O,(SAB)) = OH = 2a$

Xét  vuông tại $I$ ta có:

$OI = \sqrt {O{A^2} - A{I^2}}  = \sqrt {O{A^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}}$$= \sqrt {{{(2\sqrt 3 a)}^2} - {{\left( {\dfrac{{4a}}{2}} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 a$

Xét  vuông tại $S$ ta có:

$\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{I^2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{I^2}}} = \dfrac{{O{I^2} - O{H^2}}}{{O{H^2} \cdot O{I^2}}}$

$\Rightarrow S{O^2} = \dfrac{{O{H^2} \cdot O{I^2}}}{{O{I^2} - O{H^2}}}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{{OH \cdot OI}}{{\sqrt {O{I^2} - O{H^2}} }}$$= \dfrac{{2a \cdot 2\sqrt 2 a}}{{\sqrt {{{(2\sqrt 2 a)}^2} - {{(2a)}^2}} }} = 2\sqrt 2 a$

Vậy $V = \dfrac{1}{3}{S_d} \cdot h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {(OA)^2}.SO$$= \dfrac{1}{3}\pi  \cdot {(2\sqrt 3 a)^2} \cdot 2\sqrt 2 a = 8\sqrt 2 \pi {a^3}$.