Đa thức

Ta có $A + {x^3}y - 2{x^2}y + x - y = 2y + 3x + {x^2}y$$\Rightarrow A = 2y + 3x + {x^2}y - {x^3}y + 2{x^2}y - x + y$

$\Rightarrow A =  - {x^3}y + 3{x^2}y + 2x + 3y$

Ta có $\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + \left( {4xy - 1} \right)$$= {x^2} + {y^2} - 2xy - {x^2} - {y^2} - 2xy + 4xy - 1$$= \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {{y^2} - {y^2}} \right) + \left( { - 4xy + 4xy} \right) - 1 =  - 1$

Bậc của đa thức $- 1$ là $0.$

Ta có $P = M + N$$= 5{x^2}y - x{y^2} - xy + 7{x^3} + y - 2x{y^2} - 3xy + 1$$= 7{x^3} + 5{x^2}y + \left( { - x{y^2} - 2x{y^2}} \right) + \left( { - xy - 3xy} \right) + y + 1$

$= 7{x^3} + 5{x^2}y - 3x{y^2} - 4xy + y + 1$

Ta có $P = 7{x^3} + 5{x^2}y - 3x{y^2} - 4xy + y + 1$ (theo câu trước) có bậc là $3.$

Ta có $M - C = N \Rightarrow C = M - N$

Nên $C = 5{x^2}y - x{y^2} - xy - \left( {7{x^3} + y - 2x{y^2} - 3xy + 1} \right)$$= 5{x^2}y - x{y^2} - xy - 7{x^3} - y + 2x{y^2} + 3xy - 1$

$=  - 7{x^3} + 5{x^2}y + \left( { - x{y^2} + 2x{y^2}} \right) + \left( { - xy + 3xy} \right) - y - 1$$=  - 7{x^3} + 5{x^2}y + x{y^2} + 2xy - y - 1$

Thay $x = y = z = 2$ vào $Q = 3{x^4} + 2{y^2} - 3{z^3} + 4$ ta được

$Q = {3.2^4} + {2.2^2} - {3.2^3} + 4 = 36.$

Ta có: $4{x^5}{y^2} - 5{x^3}y + 7{x^3}y + 2a{x^5}{y^2} = (4{x^5}{y^2} + 2a{x^5}{y^2}) + ( - 5{x^3}y + 7{x^3}y) = (4 + 2a){x^5}{y^2} + 2{x^3}y$

Để bậc của đa thức đã cho là 4 thì $4 + 2a = 0$ hay $a =  - 2$.

Ta có:

$\begin{array}{l}3{x^4} + 5{x^2}{y^2} + 2{y^4} + 2{y^2}\\ = 3{x^4} + 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^2} + 2{y^4} + 2{y^2}\\ = (3{x^4} + 3{x^2}{y^2}) + (2{x^2}{y^2} + 2{y^4}) + 2{y^2}\\ = 3{x^2}({x^2} + {y^2}) + 2{y^2}({x^2} + {y^2}) + 2{y^2}\\ = 3{x^2}({x^2} + {y^2}) + 2{y^2}({x^2} + {y^2} + 1)\end{array}$.

Thay ${x^2} + {y^2} = 2$ vào đa thức trên ta được: $3{x^2}.2 + 2{y^2}(2 + 1) = 6{x^2} + 6{y^2} = 6({x^2} + {y^2}) = 6.2 = 12$.