Đa thức

Ta có $A + {x^3}y - 2{x^2}y + x - y = 2y + 3x + {x^2}y$\( \Rightarrow A = 2y + 3x + {x^2}y - {x^3}y + 2{x^2}y - x + y\)

\( \Rightarrow A =  - {x^3}y + 3{x^2}y + 2x + 3y\)

Ta có \(\left( {{x^2} + {y^2} - 2xy} \right) - \left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + \left( {4xy - 1} \right)\)\( = {x^2} + {y^2} - 2xy - {x^2} - {y^2} - 2xy + 4xy - 1\)\( = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {{y^2} - {y^2}} \right) + \left( { - 4xy + 4xy} \right) - 1 =  - 1\)

Bậc của đa thức \( - 1\) là \(0.\)

Ta có \(P = M + N\)\( = 5{x^2}y - x{y^2} - xy + 7{x^3} + y - 2x{y^2} - 3xy + 1\)\( = 7{x^3} + 5{x^2}y + \left( { - x{y^2} - 2x{y^2}} \right) + \left( { - xy - 3xy} \right) + y + 1\)

\( = 7{x^3} + 5{x^2}y - 3x{y^2} - 4xy + y + 1\)

Ta có \(P = 7{x^3} + 5{x^2}y - 3x{y^2} - 4xy + y + 1\) (theo câu trước) có bậc là \(3.\)

Ta có \(M - C = N \Rightarrow C = M - N\)

Nên \(C = 5{x^2}y - x{y^2} - xy - \left( {7{x^3} + y - 2x{y^2} - 3xy + 1} \right)\)\( = 5{x^2}y - x{y^2} - xy - 7{x^3} - y + 2x{y^2} + 3xy - 1\)

\( =  - 7{x^3} + 5{x^2}y + \left( { - x{y^2} + 2x{y^2}} \right) + \left( { - xy + 3xy} \right) - y - 1\)\( =  - 7{x^3} + 5{x^2}y + x{y^2} + 2xy - y - 1\)

Thay \(x = y = z = 2\) vào \(Q = 3{x^4} + 2{y^2} - 3{z^3} + 4\) ta được

\(Q = {3.2^4} + {2.2^2} - {3.2^3} + 4 = 36.\)

Ta có: \(4{x^5}{y^2} - 5{x^3}y + 7{x^3}y + 2a{x^5}{y^2} = (4{x^5}{y^2} + 2a{x^5}{y^2}) + ( - 5{x^3}y + 7{x^3}y) = (4 + 2a){x^5}{y^2} + 2{x^3}y\)

Để bậc của đa thức đã cho là 4 thì \(4 + 2a = 0\) hay \(a =  - 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}3{x^4} + 5{x^2}{y^2} + 2{y^4} + 2{y^2}\\ = 3{x^4} + 3{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^2} + 2{y^4} + 2{y^2}\\ = (3{x^4} + 3{x^2}{y^2}) + (2{x^2}{y^2} + 2{y^4}) + 2{y^2}\\ = 3{x^2}({x^2} + {y^2}) + 2{y^2}({x^2} + {y^2}) + 2{y^2}\\ = 3{x^2}({x^2} + {y^2}) + 2{y^2}({x^2} + {y^2} + 1)\end{array}\).

Thay \({x^2} + {y^2} = 2\) vào đa thức trên ta được: \(3{x^2}.2 + 2{y^2}(2 + 1) = 6{x^2} + 6{y^2} = 6({x^2} + {y^2}) = 6.2 = 12\).