Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (tương giao đồ thị)

Cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\), với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y =  - 3\).

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} - 3\)  cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)

Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y =  - 3\).

Bước 1: Đặt \(t = {x^2} - 1\) \( \Rightarrow t \ge  - 1\). Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn \(t\).

Đặt \(t = {x^2} - 1\) \( \Rightarrow t \ge  - 1\).

Phương trình đã cho trở thành \(f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1,\,\,t \ge  - 1\,\,\,\left( * \right)\).

Bước 2: Biện luận số nghiệm của $x$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng \( - 1\).

Suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm thực \(t\), ứng với mỗi nghiệm \(t\) cho 2 nghiệm thực \(x\).

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực.

Bước 1: Đặt \(t = {x^3} - 3x\), quan sát đồ thị tìm nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = \dfrac{2}{3}\) tìm các nghiệm \({t_i}\).

Ta có :\(\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{2}{3}\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Đặt \(t = {x^3} - 3x\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \dfrac{2}{3}\\f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

+) Phương trình \(f\left( t \right) = \dfrac{2}{3}\) có ba nghiệm phân biệt \({t_1},\,\,{t_2},\,\,{t_3}\), trong đó \( - 2 < {t_1} < 0 < {t_2} < 2 < {t_3}\).

+) Phương trình \(f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{3}\) có ba nghiệm phân biệt \({t_4},\,\,{t_5},\,\,{t_6}\), trong đó \({t_4} <  - 2 < 2 < {t_5} < {t_6}\) .

Các nghiệm \({t_1},\,\,{t_2},\,\,{t_3},\,\,{t_4},\,\,{t_5},\,\,{t_6}\) phân biệt.

Bước 2: Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x\) suy ra số nghiệm của phương trình \({x^3} - 3x = {t_i}\).

Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x\) có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

BBT :

Từ BBT ta thấy :

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_1} \in \left( { - 2;0} \right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_2} \in \left( {0;2} \right)\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_3} > 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_4} <  - 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_5} > 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

+) Phương trình \({x^3} - 3x = {t_6} > 2\) có đúng \(1\) nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả \(3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10\) nghiệm.

Dựa vào đồ thị ta có:

\(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - f\left( x \right) =  - 2\\2 - f\left( x \right) = 1\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 4\\f\left( x \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình \(f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 1\) có tất cả \(3\) nghiệm thực phân biệt.

Bước 1: Tính \(\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]'\) và tìm nghiệm của \(\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]' = 0\).

Xét hàm  \(y = f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\) ta có:

\(y' = {\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]^\prime }\) \( = {\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^\prime }.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\) \( = \dfrac{{ - x.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{\sqrt {4 - {x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 1}\\{\sqrt {4 - {x^2}} {\rm{\;}} = 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = {\rm{\;}} \pm \sqrt 3 {\rm{\;}} \notin \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\) trên nửa khoảng  \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\) rồi suy ra tập giá trị của \(m\).

Bảng biến thiên:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy \( - 1 < f\left( {\sqrt 2 } \right)\) nên để phương trình \(f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m\) có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)\) thì \( - 1 < m \le 3\).

Vậy \(m \in \left( { - 1;3} \right]\).

Bước 1:

Đặt \(t = \sin x \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Dễ thấy với mỗi \(t \in \left[ {0;1} \right)\) thì sẽ có 2 giá trị \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\).

Bước 2:

Do đó, để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất \(t \in \left[ {0;1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 4 < m \le  - 3\).

Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Ta có: \({x^3} - (2m + 1){x^2} + \left( {{m^2} - m + 3} \right)x + 2{m^2} - 3m = 0\)

\( \Rightarrow (x - m)\left[ {{x^2} - (m + 1)x - 2m + 3} \right] = 0\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = m}\\{{x^2} - (m + 1)x - 2m + 8 = 0(*)}\end{array}} \right.\)

Để ĐTHS cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm thì:

\(m < 0\) và pt (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2} < 0.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  > 0}\\{m + 1 < 0}\\{ - 2m + 3 > 0}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 1)}^2} - 4( - 8m + 3) > 0}\\{m < - 1}\\{m < \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in ( - \infty ; - 11) \cup (1; + \infty )}\\{m < - 1}\\{m < \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow m <- 11(2)(1)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow m <  - 11\) \( \Rightarrow \) Có 8 số thỏa mãn.