Nguyên hàm

Câu 101 Trắc nghiệm

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3}\)và \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left[ {xf\left( x \right)} \right]^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = {x^2}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}}dx = \int {{x^2}dx}  \Leftrightarrow }  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\)

Mà \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{1}{3} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{{ - 10}}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{10}}{3} = \dfrac{{{x^3} - 10}}{3}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{3}{{10 - {x^3}}}\end{array}\)

Vậy \(f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{{10 - {2^3}}} = \dfrac{3}{2}.\)

Câu 102 Trắc nghiệm

Nếu \(\int {f\left( x \right)dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C} \) thì \(f\left( x \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có \(\int {f\left( x \right)dx = \dfrac{{{x^3}}}{3} + {e^x} + C} \)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)' = {x^2} + {e^x}.\)

Câu 103 Trắc nghiệm

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\) thỏa \(F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\). Khi đó \(F\left( x \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Vì \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 6x + \sin 3x\) nên \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {6x + \sin 3x} \right)dx} } \)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + C\)

Mà \(F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow 3.0 - \dfrac{1}{3} + C = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 1\)

Vậy \(F\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{{\cos 3x}}{3} + 1.\)

Câu 104 Trắc nghiệm

Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Hàm số \(F\left( x \right)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nếu \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Câu 105 Trắc nghiệm

Cho \(f\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right)\). Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Hàm số \(f\left( x \right)\) là đạo hàm của \(F\left( x \right)\) nên \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) hay \(\int {f\left( x \right)dx}=F\left( x \right) +C \).

Câu 106 Trắc nghiệm

Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f\left( x \right) + C\).

Câu 107 Trắc nghiệm

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \(y = 3{x^4}\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Quan sát các đáp án ta thấy mỗi hàm số ở đáp án B, C, D đều có đạo hàm bằng \(3{x^4}\).

Chỉ có đáp án A: \(\left( {12{x^3}} \right)' = 36{x^2} \ne 3{x^4}\) nên A sai.

Câu 109 Trắc nghiệm

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.

Câu 110 Trắc nghiệm

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Có \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\) nên A sai.

Câu 111 Trắc nghiệm

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \dfrac{2}{x}\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: \(\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\sin x + \frac{2}{x}} \right)dx}  =  - \cos x + 2\ln \left| x \right| + C.} \)

Câu 112 Trắc nghiệm

Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\int {0dx}  = C\) nên A đúng, D sai.

\(\int {dx}  = x+C \) nên B, C sai

Câu 113 Trắc nghiệm

Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\int {{a^x}dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên A đúng.

Câu 114 Trắc nghiệm

Chọn mệnh đề sai:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + C\) nên A và D đúng.

\(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx =  - \cot x + C} \) nên C đúng, B sai.

Câu 115 Trắc nghiệm

Chọn mệnh đề đúng:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx}  =  - \cot x + C;\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  = \tan x + C\) nên:$\int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^{\rm{2}}}x}}dx}  + \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  $

$=  - \cot x + \tan x + C = \tan x - \cot x + C$

Câu 116 Trắc nghiệm

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\cos ^2}x\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} \\ = \int {{{\cos }^2}xdx} \\ = \int {\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int {dx}  + \dfrac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \\ = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\sin 2x + C\\ = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\end{array}\)

Câu 117 Trắc nghiệm

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ thì  là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  - \cot x + C = F\left( x \right)$

Đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua $M\left( {\dfrac{\pi }{3};0} \right)$ nên $F\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=0$

$ \Leftrightarrow - \cot \dfrac{\pi }{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow F\left( x \right) =  - \cot x + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Câu 118 Trắc nghiệm

Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x + 2}}$. Hãy chọn mệnh đề sai:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là: $F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{x + 2}}dx = \ln \left| {x + 2} \right| + C} $ nên C đúng, A sai.

Do đó các hàm số $y = \ln \left| {x + 2} \right|$ và $y = \ln \left( {3\left| {x + 2} \right|} \right) = \ln 3 + \ln \left| {x + 2} \right|$ đều là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nên B, D đúng.

Câu 119 Trắc nghiệm

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = x\left( {2 + 3{x^2}} \right)$ là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Họ nguyên hàm của hàm số đã cho là:

\(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {2x + 3{x^3}} \right)dx} \) \( = \int {2xdx}  + \int {3{x^3}dx} \) \( = 2\int {xdx}  + 3\int {{x^3}dx} \) \( = 2.\dfrac{{{x^2}}}{2} + 3.\dfrac{{{x^4}}}{4} + C\) \( = {x^2} + \dfrac{{3{x^4}}}{4} + C\) \( = {x^2}\left( {1 + \dfrac{3}{4}{x^2}} \right) + C\)

Câu 120 Trắc nghiệm

Tìm nguyên hàm của hàm số  \(f(x) = {x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}.\) 

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {{x^2} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{2}{x} + C$