Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\\ = {3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{5^{2 + 2\sqrt 2 }}\\ = {3^2}\\ = 9\end{array}\)
Đơn giản biểu thức $A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}$ ta được:
$A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2 + 1}} = {a^{\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}} = a$
Kết quả ${a^\pi }$ là đáp số của biểu thức được rút gọn nào dưới dây?
${a^{\sqrt 2 }}.{a^\pi }:\sqrt[3]{{{a^{3\sqrt 2 }}}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^\pi }:{a^{\sqrt 2 }} = {a^{\sqrt 2 + \pi - \sqrt 2 }} = {a^\pi }$ nên A đúng.
Rút gọn biểu thức $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1$ ta được kết quả là:
Ta có: $B = \dfrac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \dfrac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 $
$= \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} + 1 = \dfrac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}$
Tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt {{{\left( {{a^e} + {b^e}} \right)}^2} - {{\left( {{4^{\dfrac{1}{e}}}ab} \right)}^e}} $ khi $a = e;b = 2e$.
$A = \sqrt {{{\left( {{a^e} + {b^e}} \right)}^2} - {{\left( {{4^{\dfrac{1}{e}}}ab} \right)}^e}} = \sqrt {{a^{2e}} + 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}} - 4{a^e}{b^e}} $
$= \sqrt {{a^{2e}} - 2{a^e}{b^e} + {b^{2e}}} = \sqrt {{{\left( {{a^e} - {b^e}} \right)}^2}} = \left| {{a^e} - {b^e}} \right|$
Với $a = e;b = 2e$ thì $A = \left| {{a^e} - {b^e}} \right| = \left| {{e^e} - {{\left( {2e} \right)}^e}} \right| = \left( {{2^e} - 1} \right){e^e}$
Cho số dương $a > 1$ và hai số thực âm $x > y$. Khi đó:
Với $a > 1$ và $x > y$ thì ${a^x} > {a^y}$.
Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án A: Vì $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ và $\sqrt 3 > \sqrt 2 $ nên ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}$ (A sai).
Đáp án B: Vì $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ và $\sqrt 3 < \sqrt 5 $ nên ${\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 5 }}$ (B đúng).
Đáp án C: Vì $ - \sqrt 3 < 0$ và $\dfrac{4}{3} > \dfrac{1}{3}$ nên ${\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - \sqrt 3 }}$(C sai)
Đáp án D: Vì $\sqrt 3 > 0$ và $\dfrac{4}{3} > \dfrac{1}{3}$ nên ${\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}$ (D sai)
Chọn mệnh đề sai?
Đáp án A: Vì $2 > 1$ và $1,7 > 0,6$ nên ${2^{1,7}} > {2^{0,6}}$ (A đúng)
Đáp án B: Vì $0 < \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} < 1$ và $1,2 < \sqrt 2 $ nên ${\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{1,2}} > {\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\sqrt 2 }}$ (B đúng)
Đáp án C: Vì ${2^{ - \sqrt {12} }} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{\sqrt {12} }};0 < \dfrac{1}{2} < 1$ và $\sqrt {12} > 2,5$ nên ${2^{ - \sqrt {12} }} < {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{2,5}}$ (C đúng)
Đáp án D: Vì $0 < 0,7 < 1$ và $\dfrac{{\sqrt 5 }}{6} > \dfrac{1}{3}$ nên $0,{7^{\frac{{\sqrt 5 }}{6}}} < 0,{7^{\frac{1}{3}}}$ (D sai)
Kết luận nào đúng về số thực \(a\) nếu \({\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{ - 0,2}} < {a^2}\)
\({\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{ - 0,2}} < {a^2} \Leftrightarrow {a^{0,2}} < {a^2}\)
Do \(0,2 < 2\) và có số mũ không nguyên nên ${a^{0,2}} < {a^2}$ khi $a > 1$.
Cho biểu thức $A = {3^{ - x + \sqrt x }}$, chọn khẳng định đúng
Ta có: $ - x + \sqrt x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = - \left( {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{1}{4} $
\( = - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\)
Suy ra $A = {3^{ - x + \sqrt x }} \le {3^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{3}$.
Vậy $A \le \sqrt[4]{3}$.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}$ là:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}};{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}}$ ta có:
$A = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} = {5^{ - {{\sin }^2}x}} + {5^{ - {{\cos }^2}x}} $
$\ge 2\sqrt {{5^{ - {{\sin }^2}x}}{{.5}^{ - {{\cos }^2}x}}} = 2\sqrt {{5^{ - \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)}}} = 2\sqrt {{5^{ - 1}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\sin }^2}x}} = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$
Vậy GTNN của $A$ là $\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
